早大理工数学'13年[3]
とする。次の問いに答えよ。
(1) 実数t に対して
とおく。xが実数全体を動くとき、
が最大値をもつようなt の範囲を求めよ。またt がその範囲にあるとき、
の最大値とそのときのxの値を求めよ。 (2) (1)で求めた最大値を
とする。aを定数とし、t の関数
を考える。t が(1)で求めた範囲を動くとき、
の最大値を求めよ。
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解答 面倒な微分の計算問題です。慎重に計算しましょう。
は単調増加(関数の増減を参照)で、
，
より、
は
となる値をとります。(i) 
のとき、 とすると、
，
∴ 
(対数関数を参照)よって、
において
で
は増加、
において
で
は減少。
従って、
は
において最大値
をとります。 (ii) 
のとき、すべての実数xに対して
で
は単調減少。このときは、
は最大値をとりません。 以上より、
が最大値をもつt の範囲は、
......[答]
の最大値は、
......[答]
(2) 
(
) 
とすると、
∴ 
なので、すべての実数aに対してこれを満たすt が存在します。
において
で
は増加、
において
で
は減少。
は、
において最大値
をとります。求める最大値は、
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