早大理工数学'13年[1]
放物線C：
(
)の焦点F
を通る2直線
，
は互いに直交し、Cと
は2点
，
で、Cと
は2点
，
で交わるとする。次の問いに答えよ。
(1) 
の方程式を
と置き、
，
の座標をそれぞれ
，
とする。
，
をaとpで表せ。 (2) 
は
，
のとり方によらず一定であることを示せ。
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解答 まずは軽く肩慣らし、という放物線の問題です。
のとき、
がx軸(
)となり、放物線Cと2交点をもたなくなるので、題意より
です。
の傾きは
，これと垂直な直線
の傾きは
(2直線の平行と垂直を参照)，
はF
を通るから、
：
･･･③
(1) ①，②を連立すると、
，
......[答] ･･･④また、②より、
，
･･･⑤
(2) 
より、
･･･⑥
①，③を連立すると、
･･･⑦
，
の座標を
，
として、⑦の2解が
，
だから、解と係数の関係より、
，
･･･⑧③より、
，
･･･⑨ これと⑥より、
aに依存しないので、
，
のとり方によらず一定になります。
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･･･①
：
･･･②
(∵ ⑤)
(∵ ④)
(∵ ⑨)
(∵ ⑧)
，
だから、