早大理工数学'21年[2]
整式
について、以下の問に答えよ。
(1) 
を
で割ったときの余りを求めよ。 (2) 
を
で割ったときの余りを求めよ。 (3) 自然数nが3の倍数であるとき、
が
で割り切れることを示せ。
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解答 
だとすると、
となりますが、
をかけて
となるので、
を
で割った余りは
，
なので、
より
を
で割って余りは
，
(mは自然数)とおいて、
より、
は
で割り切れる、ということなのですが、ここでは、因数定理を用いて解答を書いてみます。
を満たします。これより、
が成り立ちます。
をかけて、
･･･①，つまり、 そこで、
とすると、 よって、
(
)は、
の解で、
は
(
)で割り切れます。つまり、因数定理より、
は
で割り切れます。よって、
を整式として、 4次式
で割った余りは3次以下の多項式で、
を
で割ったときの余りは
......[答]注．
は、
(複合任意)です。[別解] 
より、
を
で割った余りは
とすることもできます。いきなり割り算を実行して、
として余りを求めることもできます。 (2) ①より、
などを用いて、 
(
)そこで、
とおくと、 よって、
(
)は、
の解で、
は
(
)で割り切れます。つまり、
は
で割り切れます。よって、
を整式として、 
は3次以下の多項式で、
を
で割ったときの余りは、
......[答](3) 
とおくと、
(mは自然数)として、①より、
などを用いて、 
(
)よって、
(
)は、
の解で、
は
(
)で割り切れます。つまり、因数定理より、
は
で割り切れます。
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の4解を
(
)とします。
は、
