早大理工数学'22年[2]
p，qを相異なる素数とする。次の3条件をみたすxの2次式
を考える。 ●係数はすべて整数で
の係数は1である。
●
である。
●方程式
は整数解をもつ。 以下の問に答えよ。
(1) 
をすべて求めよ。 (2) (1)で求めたものを
，
，･･･，
とする。
次方程式
の相異なる解の総和はp，qによらないことを示せ。
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解答 難問かと思うと意外とそうでもない、という問題です。試験会場で諦めが早すぎると、家に帰ってから後悔することになります
(1) p，qは相異なるので、
として考えます。2次方程式：
の整数解をa，他方の解をbとすると、
の
の係数は1なので、 
･･･①とおけます。題意より、
･･･②
とすると、p，qのいずれかは0で不適です。
のとき、
は整数なので、
も整数です。p，qは相異なる素数なので、
の約数は、1，p，q，
の4個のみで、
に限られます。つまり、bも整数です。これより、②をみたすすべての
の組み合わせは、a，bともに整数なので、
として、よって、
･･･③
の全ては、①より、
(2) (1)より、
，
，
，
，
なので、
次方程式は8次方程式：
です。 この解は、③より、
，
，
，0，2，
，
，
･･･④
ここで、
，
より、 
，
，また、
より、 となり、④の解はすべて相異なります。よって、解の総和は、
よって、解の総和はp，qはよらず、題意は示されました。
注．題意は、p，qが素数でなくても成立します。
の約数のうち小さい方を
として、
，また、
(
)となるように
を決めると、
のときには、
次方程式は、 となり、(2)の解の総和は、
となります。
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