早大理工数学'22年[2]
p，qを相異なる素数とする。次の3条件をみたすxの2次式を考える。
●係数はすべて整数での係数は1である。
●である。
●方程式は整数解をもつ。
以下の問に答えよ。
(1) をすべて求めよ。
(2) (1)で求めたものを，，･･･，とする。次方程式の相異なる解の総和はp，qによらないことを示せ。


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解答　難問かと思うと意外とそうでもない、という問題です。試験会場で諦めが早すぎると、家に帰ってから後悔することになります

(1) p，qは相異なるので、として考えます。2次方程式：の整数解をa，他方の解をbとすると、のの係数は1なので、
　･･･①
とおけます。題意より、
　･･･②
とすると、p，qのいずれかは0で不適です。
のとき、は整数なので、も整数です。p，qは相異なる素数なので、の約数は、1，p，q，の4個のみで、に限られます。つまり、bも整数です。これより、②をみたすすべてのの組み合わせは、a，bともに整数なので、として、
よって、　･･･③
の全ては、①より、
，，， ......[答]

(2) (1)より、，，，，なので、次方程式は8次方程式：です。
この解は、③より、，，，0，2，，，　･･･④
ここで、，より、
，，
また、より、
となり、④の解はすべて相異なります。よって、解の総和は、
よって、解の総和はp，qはよらず、題意は示されました。
注．題意は、p，qが素数でなくても成立します。の約数のうち小さい方をとして、，また、 ()となるようにを決めると、のときには、次方程式は、
となり、(2)の解の総和は、
となります。



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