早大理工数学'22[2]

pqを相異なる素数とする。次の3条件をみたすx2次式を考える。
●係数はすべて整数での係数は1である。
である。
●方程式は整数解をもつ。
以下の問に答えよ。
(1) をすべて求めよ。
(2) (1)で求めたものを,・・・,とする。次方程式の相異なる解の総和はpqによらないことを示せ。

解答 難問かと思うと意外とそうでもない、という問題です。試験会場で諦めが早すぎると、家に帰ってから後悔することになります

(1) 2次方程式:の整数解をab ()とすると、の係数は1なので、
 ・・・@
とおけます。
 ・・・A
は整数なので、は整数の約数です。pqは相異なる素数なので、の約数は、1pq4個あります。
これより、Aをみたすすべてのの組み合わせは、として、より、
よって、 ・・・B
の全ては、@より、
......[]

(2) (1)より、なので、次方程式は8次方程式:です。
この解は、Bより、02 ・・・C
ここで、の場合、
また、より、Cの解はすべて相異なります。よって、解の総和は、
よって、解の総和はpqはよらず、題意は示されました。
注.題意は、pqが素数でなくても成立します。の約数のうち小さい方をとして、,また、 ()となるようにを決めると、のときには、次方程式は、
となり、(2)の解の総和は、
となります。



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