(1) 初めに袋の中に赤玉が1個、黒玉が1個入っているとする。n回の操作を行ったとき、赤玉をちょうどk回取り出す確率を ()とする。とを求め、さらにを求めよ。

(2) 初めに袋の中に赤玉がr個、黒玉がb個(，)入っているとする。n回の操作を行ったとき、k回目に赤玉が、それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率を ()とする。はkによらないことを示せ。

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(1) 1回目に赤玉を取り出す確率も黒玉を取り出す確率もです。1回目に赤玉を取り出す(赤玉を1回取り出す)と、赤玉は2個、黒玉は1個になります。1回目に黒玉を取り出す(赤玉を0回取り出す)と、赤玉は1個、黒玉は2個になります。赤玉2個になる確率、赤玉1個になる確率、ともにです。よって、 ......[答]　･･･�@

赤玉2個、黒玉1個の状態で、赤玉を取り出す(3個のうち2個のどれかを取るので確率。結局、赤玉を2回取り出すことになります)と、赤玉3個、黒玉1個になりますが、この確率はです。
赤玉1個、黒玉2個の状態で、黒玉を取り出す(確率，赤玉を取り出す回数は0)と、赤玉1個、黒玉3個になりますが、この確率はです。
赤玉2個、黒玉1個の状態で黒玉を取る(確率)か、赤玉1個、黒玉2個の状態で赤玉を取る(確率)を取ると、赤玉を取り出す回数は1回で、赤玉2個、黒玉2個になりますが、この確率はです。
よって、 ......[答]

これで、n回操作後、赤玉の個数が、1個、2個、･･･、n個 (赤玉を取り出す回数は、それぞれ、0回、1回、･･･、回)になる確率は等しくになるのではないか、と予測できます。
赤玉をk回取ると、1回取るごとに赤玉が1個増えるので、n回操作後の赤玉の個数は、n回操作中に赤玉を取り出した回数に1を加えたものです。

まず、

命題：n回の操作を行ったとき、赤玉をちょうどk回取り出す確率、つまり、n回操作後に赤玉が個になっている確率は ()である。

(�T) 1回操作後に赤玉が2個になっている確率、1個になっている確率、つまり、1回の操作で、赤玉を1回取り出す確率、0回取り出す確率は、�@より、です。命題は成立します。

(�U) m回操作後に赤玉が個()になっている確率、つまり、n回の操作を行ったとき、赤玉をk回取り出す確率がであると仮定します。

m回操作後に、赤玉と黒玉は最初の2個からm個増えて合わせて個になります。赤玉をk回取り出すとk個増えて個になります。黒玉は個あります。回目に赤玉を取り出す確率は，黒玉を取り出す確率はです。
回操作後に赤玉が個になるのは、m回操作後に赤玉が個(赤玉を取り出した回数はm)で、回目に赤玉を取り出す場合です。このとき、回の操作で赤玉を回取り出すことになります。その確率は、

回操作後に赤玉が1個になるのは、m回操作後に赤玉が1個(赤玉を取り出した回数は0)で、回目に黒玉(黒玉の個数は)を取り出す場合です。このとき、回の操作で赤玉を0回取り出すことになります。その確率は、

回操作後に赤玉が個()になるのは、m回操作後に赤玉が個，黒玉が個(赤玉を取り出した回数はk)あるときに黒玉を取り出す(確率)か、赤玉がk個、黒玉が個(赤玉を取り出した回数は)あるときに赤玉を取り出す(確率)ときです。このとき、回の操作で赤玉をk ()回取り出すことになります。その確率は、

以上より、回の操作を行ったとき、赤玉をk回()取り出す確率はであり、のときも命題は成立します。

(�T)，(�U)，数学的帰納法より、命題が成立します。よって、 () ......[答]

(2) 例えば、，，くらいで考えてみます。1回目に赤玉を取り出し、2回目〜5回目に黒玉を取り出すとき、です。2回目に赤玉を取り出し、それ以外黒玉だとすると、です。同様に、，，となります。

の分母は、各回の玉の個数の積、つまり、からまでの積になります。分子は、k回目()のところだけ初めの赤玉の個数となり、残りは各回の黒玉の個数，，･･･，が並び、となっています。

k回目()に赤玉を取り出す確率は、そのときの玉の個数が個，赤玉の個数がr個なので、
，となる自然数jについて、j回目の玉の個数が個、黒玉の個数を (黒玉は最初b個で、回目までに個取り出し個になるので、)として、k回目以外のj回目に黒玉を取り出す確率は、
のときはに限られます。　･･･�A

のとき、とすると、

各回ごとに玉の個数が個から1個ずつ増えてn回目に個となり、は、各回の玉の個数の積となり、

は、赤玉を1回、黒玉を回取り出し、rと〜 (途中、どこか1つ抜けることに注意)の積となるのですが、黒玉はb個から個まで1個ずつ増えるので、bからまでの積になります。つまり、

よって、　･･･�B
�A，�Bより、はkによりません。

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