早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2023年数学入試問題
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[1] nを自然数として、整式
を
で割った余りを
とおく。以下の問に答えよ。
(2) 全てのnに対して、
と
は7で割り切れないことを示せ。 (3) 
と
を
と
で表し、全てのnに対して、2つの整数
と
は互いに素であることを示せ。 [解答へ]
[2] 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し、取り出した玉を袋に戻した上で、取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す。以下の問に答えよ。
(1) 初めに袋の中に赤玉が1個、黒玉が1個入っているとする。n回の操作を行ったとき、赤玉をちょうどk回取り出す確率を
(
)とする。
と
を求め、さらに
を求めよ。 (2) 初めに袋の中に赤玉がr個、黒玉がb個(
，
)入っているとする。n回の操作を行ったとき、k回目に赤玉が、それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率を
(
)とする。
はkによらないことを示せ。 [解答へ]
[3] 実数xに対して関数
を
で定め、正の実数xに対して関数
を
で定める。また、
，
のグラフをそれぞれ
，
とする。以下の問に答えよ。
(1) 
と
がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。 (2) 直線
と
が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら
を証明しないで用いてよい。 (3) 直線
と
との2つの交点のx座標をα，βとする。ただし、
とする。直線
と
，
をすべて同じxy平面上に図示せよ。 (4) 
と
で囲まれる図形の面積を(3)のα，βの多項式で表せ。 [解答へ]
[4] 複素数平面上に2点A(1)，B(
)がある。ただし、iは虚数単位である。複素数zに対し、
で表される点wを考える。以下の問に答えよ。
(1) 
のときのwをそれぞれ計算せよ。 (2) 実数t に対し
とする。
について、
の実部を求め、さらに
を求めよ。 (3) wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。
[解答へ]
[5] xyz空間において、3点A
，B
，C
を頂点とする三角形ABCを考える。以下の問に答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
に対し、線分AB，ACと平面
との交点をそれぞれP，Qとする。点P，Qの座標を求めよ。 (3) 
に対し、点
と線分PQの距離をhで表せ。ただし、点と線分の距離とは、点と線分上の点の距離の最小値である。 (4) 三角形ABCをx軸のまわりに1回転させ、そのときに三角形が通過する点全体からなる立体の体積を求めよ。
[解答へ]
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と
を、それぞれ
と
を用いて表せ。