早大理工数学'23年[1]
nを自然数として、整式をで割った余りをとおく。以下の問に答えよ。
(2) 全てのnに対して、とは7で割り切れないことを示せ。 (3) とをとで表し、全てのnに対して、2つの整数とは互いに素であることを示せ。
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解答 簡単そうに見えますが、やってみるとつまづきます。
とおくと、両辺にをかけて、 よって、
・・・@
・・・A ......[答]
(2) 常套的な方針で考えるなら、背理法で、,を整数として、,と仮定すると、,が7の倍数になって矛盾、という風に進めたいわけです。やってみると、 ・・・@' ・・・A' @'×3−A'とすると、
となってうまく矛盾が導けず困ります。
そこで、とやってどうなっているのか確認してみよう、ということになります。 よって、, よって、,
,を7で割った余りは、それぞれ、3と2です。
,を7で割った余りは、それぞれ、3と2です。
,を7で割った余りは、それぞれ、3と2です。(3)をやってみると納得が行くのですが、これで、常套的方針では矛盾がうまく導けない、ということが分かります。
@,Aを使って,を求めると、 となり、nが何であっても、,を7で割った余りは、それぞれ、3と2だということになりそうです。そこで、漸化式を用いて、
命題(*):全てのnに対して、,は、7で割った余りがそれぞれ3と2になる整数である
(T) のとき、,は整数であり、7で割った余りは、それぞれ、3と2で、命題は成立します。 (U) のとき、,が整数であり、7で割った余りが、それぞれ、3と2であると仮定し、p,qを整数として、 , とおくと、@,Aより、
よって、,も整数であり、7で割った余りが、それぞれ、3と2になり、のときにも命題は成立します。 (T),(U),数学的帰納法により、全ての自然数nに対して、,は整数であり、7で割た余りは、それぞれ、3と2になります。
即ち、全てのnに対して、とは7で割り切れません。
(3) @×3−Aより、
@×2−A×3より、
よって、, ......[答] ・・・B
命題:全てのnに対して、整数,が互いに素である
(U) のとき、,が互いに素だと仮定(仮定1とします)し、,が互いに素であることを背理法で示します。 ,が互いに素ではない、つまり、mを2以上の整数、p,qを整数として、,とおけると仮定(仮定2とします)します。(2)より、,は7の倍数でなく、mも7の倍数ではありません。
Bより、,(2)で数学的帰納法により証明した命題(*)により、,は整数です。mは7の倍数でないので、,はともに、7の倍数であり、,は整数です。
よって、,はともにmの倍数となり、,が互いに素だとした仮定1に反します。即ち、,が互いに素ではない、とした仮定2は誤りで、,は互いに素で、のときにも命題が成立します。 (T),(U),数学的帰納法により、全てのnに対して、整数,が互いに素です。
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