早大理工数学'23[1]

nを自然数として、整式で割った余りをとおく。以下の問に答えよ。

(1) を、それぞれを用いて表せ。
(2) 全てのnに対して、7で割り切れないことを示せ。
(3) で表し、全てのnに対して、2つの整数は互いに素であることを示せ。


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解答 簡単そうに見えますが、やってみるとつまづきます。

(1) より、です。
xの整式として(多項式の除算を参照)
とおくと、両辺にをかけて、


よって、
 ・・・@
 ・・・A 
......[]

(2) 常套的な方針で考えるなら、背理法で、を整数として、と仮定すると、7の倍数になって矛盾、という風に進めたいわけです。やってみると、
 ・・・@'
 ・・・A'
@'×3−A'とすると、

となってうまく矛盾が導けず困ります。
そこで、とやってどうなっているのか確認してみよう、ということになります。
よって、
よって、
7で割った余りは、それぞれ、32です。
7で割った余りは、それぞれ、32です。
7で割った余りは、それぞれ、32です。
(3)をやってみると納得が行くのですが、これで、常套的方針では矛盾がうまく導けない、ということが分かります。
@,Aを使ってを求めると、

となり、nが何であっても、7で割った余りは、それぞれ、32だということになりそうです。そこで、漸化式を用いて、

命題():全てのnに対して、は、7で割った余りがそれぞれ32になる整数である

数学的帰納法を用いて示します。

(T) のとき、は整数であり、7で割った余りは、それぞれ、32で、命題は成立します。
(U) のとき、が整数であり、7で割った余りが、それぞれ、32であると仮定し、pqを整数として、
とおくと、@,Aより、

よって、も整数であり、7で割った余りが、それぞれ、32になり、のときにも命題は成立します。
(T)(U),数学的帰納法により、全ての自然数nに対して、は整数であり、7で割た余りは、それぞれ、32になります。
即ち、全ての
nに対して、7で割り切れません。

(3) 3−Aより、
2−A×3より、
よって、 ......[] ・・・B

命題:全てのnに対して、整数が互いに素である

数学的帰納法を用いて示します(整数を参照)

(T) のとき、は互いに素です。
(U) のとき、が互いに素だと仮定(仮定1とします)し、が互いに素であることを背理法で示します。
が互いに素ではない、つまり、m2以上の整数、pqを整数として、とおけると仮定(仮定2とします)します。(2)より、7の倍数でなく、m7の倍数ではありません。
Bより、

(2)で数学的帰納法により証明した命題()により、は整数です。
m7の倍数でないので、はともに、7の倍数であり、は整数です。
よって、はともに
mの倍数となり、が互いに素だとした仮定1に反します。即ち、が互いに素ではない、とした仮定2は誤りで、は互いに素で、のときにも命題が成立します。
(T)(U),数学的帰納法により、全てのnに対して、整数が互いに素です。



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