早大理工数学'23年[5]
xyz空間において、3点A
，B
，C
を頂点とする三角形ABCを考える。以下の問に答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
に対し、線分AB，ACと平面
との交点をそれぞれP，Qとする。点P，Qの座標を求めよ。 (3) 
に対し、点
と線分PQの距離をhで表せ。ただし、点と線分の距離とは、点と線分上の点の距離の最小値である。 (4) 三角形ABCをx軸のまわりに1回転させ、そのときに三角形が通過する点全体からなる立体の体積を求めよ。
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解答 誘導に乗って素直に計算して行けば、計算も大したことはなく、確実に得点したい問題です。
(1) 
，
･･･①
(2) 線分AB上の点は、t を
を満たす実数として、平面
との交点Pは、
として、
，
より
です。
，
より、P
......[答]線分AC上の点は、sを
を満たす実数として、
平面
との交点Qは、
より、
，
より
です。
，
より、Q
......[答]
(3) P，Qはともに平面
上の点ですが、z座標はともにx座標と等しくhなので、
の範囲にあります。直線PQ (
)はy軸と平行で、点H
との距離はhですが、線分PQとの距離の場合には、Hから線分PQに下ろした垂線の足Rが、線分PQの中に来るか、ということが問題になります。Rは、zx平面(
)上にあるので、(2)の結果を使って、PとQのy座標の符号を調べます。 Pのy座標
は、
より、
です。Qのy座標
は、
のときには
ですが、
のときには、
になってしまいます。
つまり、Hから線分PQに垂線を下ろすとき、垂線の足Rは、
のときには、線分PQ上に来ますが、
になると、PもQも
側に来るので、Rは線分PQ上に来ません。このとき、PとQのy座標を比べると、
であれば、 なので、
P，Qのy座標が一致するとき(
のとき、P，QはAに一致)を含めて、Pのy座標の方が大きい。 ･･･(＊) ことがわかります。つまり、Hと線分PQとの距離は、HとQ
との距離 
･･･①になります。
以上より、点H
と線分PQの距離は、
のときにh，
のときに
......[答]
(4) 平面
で三角形ABCを切ると線分PQになります。三角形ABCをx軸の周りに回転させてできる立体を平面
で切ったときの断面は、線分PQをx軸の周りに回転させてできる図形になります。 この図形は、線分PQ上の点の中で最もHに近い点をx軸の周りに回転してできる円周
と、線分PQ上の点で最もHから遠い点をx軸の周りに回転してできる円周
に挟まれた図形になります。(3)の(＊)より、線分PQ上の点で最もHから遠い点は、線分PQの端点Pです。HとP
との距離は、 です。これが円
の半径になります。
円
の半径は、
のときh，
のとき
(
のとき
)です。Aのx座標は2であり、B，Cのx座標は0なので、三角形ABCは
の範囲に存在します。
よって、三角形ABCをx軸のまわりに1回転させたときに三角形が通過する点全体からなる立体の体積Vは、①より、
なので、
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