に対して関数をで定め、正の実数

に対して関数をで定める。また、，のグラフをそれぞれ，とする。以下の問に答えよ。

(1) とがそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。

(2) 直線とが2点で交わることを示せ。ただし、必要ならを証明なしで用いてよい。

(3) 直線ととの2つの交点のx座標をα，βとする。ただし、とする。直線と，をすべて同じxy平面上に図示せよ。

(4) とで囲まれる図形の面積を(3)のα，βの多項式で表せ。

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(1) において、xとyを入れ替え、をyについて解きます。xは、となる任意の実数をとり得ます。

両辺の対数を取ると、　∴
となる任意の実数xに対して、ただ1つのが対応します。よって、はの逆関数です。このとき、はの逆関数です。

(2) とを連立すると、

とおくと、

とすると、　∴
において、より、は単調減少です。
において、より、は単調増加です。

，，
よって、，即ち、は、の範囲に1解、の範囲に1解を持ち、とは2点で交わります。

(3) (2)のの範囲の解をα，の範囲の解をβとします。α，βが、との交点のx座標を与えます。とは(1)より、に関して対称です。

は単調増加な関数では下に凸、，，
は単調増加な関数では上に凸、，
よって、直線と，を図示すると、右図。

は、の解なので、，　･･･�@　を満たします。

また、，　･･･�A
(3)のグラフより、において、，よって、とで囲まれる図形の面積Sは、

　(∵ �@，�A)
　......[答]

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