早大理工数学'23年[3]
実数xに対して関数
を
で定め、正の実数xに対して関数
を
で定める。また、
，
のグラフをそれぞれ
，
とする。以下の問に答えよ。
(1) 
と
がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。 (2) 直線
と
が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら
を証明しないで用いてよい。 (3) 直線
と
との2つの交点のx座標をα，βとする。ただし、
とする。直線
と
，
をすべて同じxy平面上に図示せよ。 (4) 
と
で囲まれる図形の面積を(3)のα，βの多項式で表せ。
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解答 例年と比較して軽い問題です。
(1) 
(指数関数を参照)において、xとyを入れ替え、
をyについて解きます。xは、
となる任意の実数をとり得ます。 
両辺の対数を取ると、
∴ 
となる任意の実数xに対して、ただ1つの
が対応します。よって、
は
の逆関数です。このとき、
は
の逆関数です。
(2) 
において
なので、直線
と
：
は
において交点をもちません。
と
を連立すると、
とおくと、
とすると、
∴ 
において、
より(関数の増減を参照)、
は単調減少です。
において、
より、
は単調増加です。
，
，
よって、
，即ち、
は、
の範囲に1解、
の範囲に1解を持ち(中間値の定理を参照)、
と
は2点で交わります。
(3) (2)の
の範囲の解をα，
の範囲の解をβとします。α，βが、
と
の交点のx座標を与えます。
と
は(1)より、
に関して対称です。
と
も
において交わります。 
は単調増加な関数で
は下に凸、
，
，
は単調増加な関数で
は上に凸、
，
よって、直線
と
，
を図示すると、右図。
(4) α，βは、
の解なので、
，
･･･① を満たします。
また、
，
･･･②(3)のグラフより、
において、
，よって、
と
で囲まれる図形の面積Sは、
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(∵ ①，②)
......[答]
