早大理工数学'23[3]

実数xに対して関数で定め、正の実数xに対して関数で定める。また、のグラフをそれぞれとする。以下の問に答えよ。

(1) がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2) 直線2点で交わることを示せ。ただし、必要ならを証明しないで用いてよい。
(3) 直線との2つの交点のx座標をαβとする。ただし、とする。直線をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4) で囲まれる図形の面積を(3)αβの多項式で表せ。


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解答 例年と比較して軽い問題です。

(1) (指数関数を参照)において、xyを入れ替え、yについて解きます。xは、となる任意の実数をとり得ます。
両辺の対数を取ると、 ∴
となる任意の実数xに対して、ただ1つのが対応します。よって、逆関数です。このとき、の逆関数です。

(2) においてなので、直線において交点をもちません。を連立すると、
とおくと、
 (微分の公式を参照)
とすると、 ∴
において、より(関数の増減を参照)単調減少です。
において、より、は単調増加です。


よって、,即ち、は、の範囲に
1解、の範囲に1解を持ち(中間値の定理を参照)2点で交わります。

(3) (2)の範囲の解をαの範囲の解をβとします。αβが、の交点のx座標を与えます。(1)より、に関して対称です。において交わります。
は単調増加な関数では下に凸、
は単調増加な関数では上に凸、
よって、直線を図示すると、右図。

(4) αβは、の解なので、 ・・・@ を満たします。
また、 ・・・A
(3)のグラフより、において、,よって、で囲まれる図形の面積Sは、
 (不定積分の公式を参照)

 ( @,A)
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