早大理工数学'23年[4]
複素数平面上に2点A(1)，B(
)がある。ただし、iは虚数単位である。複素数zに対し、
で表される点wを考える。以下の問に答えよ。
(1) 
のときのwをそれぞれ計算せよ。 (2) 実数t に対し
とする。
について、
の実部を求め、さらに
を求めよ。 (3) wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。
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解答 誘導があまりに親切すぎて、途中で何をやっているのかわからなくなりますが、最後に1本の線につながります。なお、複素数の図形的応用を参照してください。
(1) 
のとき、
......[答] 
のとき、
......[答]
のとき、
......[答]
(2) 
よって、
，つまり、wは、αを中心として半径
の円周上の点です。 
(3) 線分AB上の点は、t を
を満たす実数として、
と表されます。つまり問題文中のzです。但し、
という条件が付きます。 wと原点を結んでできる線分Lとx軸とがなす角を反時計回りを正の方向としてθとすると、
です(偏角を参照)。
より、
t が0から1まで変わると、
は、1から
まで変わり、zの表す点はAからBまで動きます。このとき、
は0から
まで変わります。
は、0から
まで変わり、wは、αを中心として半径
の円周上の点なので、C(3)、D(
)として、線分Lは、OCから時計回りにODまで動きます。CとDの中点はαなので、CとDは円の直径の両端です。よって、線分Lが通過する範囲を図示すると右図黄緑色着色部。その面積は、△OCDの面積と半径
の半円の面積の和で、 
......[答]
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は
の実部の2倍で、①より、
，結局、
......[答]
より、