早大理工数学'23[4]

複素数平面上に2A(1)B()がある。ただし、iは虚数単位である。複素数zに対し、で表される点wを考える。以下の問に答えよ。

(1) のときのwをそれぞれ計算せよ。
(2) 実数t に対しとする。について、の実部を求め、さらにを求めよ。
(3) wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。


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解答 誘導があまりに親切すぎて、途中で何をやっているのかわからなくなりますが、最後に1本の線につながります。なお、複素数の図形的応用を参照してください。

(1) のとき、 ......[]
のとき、
 (複素数の計算を参照)
......[]
のとき、 ......[]

(2)

実部 ......[] ・・・@
より、
の実部の2倍で、@より、,結局、


......[]
よって、,つまり、wは、αを中心として半径の円周上の点です。

(3) 線分AB上の点は、t を満たす実数として、と表されます。つまり問題文中のzです。但し、という条件が付きます。
wと原点を結んでできる線分Lx軸とがなす角を反時計回りを正の方向としてθとすると、です(偏角を参照)より、
t 0から1まで変わると、は、1からまで変わり、zの表す点はAからBまで動きます。このとき、0からまで変わります。
は、
0からまで変わり、wは、αを中心として半径の円周上の点なので、C(3)D()として、線分Lは、OCから時計回りにODまで動きます。CDの中点はαなので、CDは円の直径の両端です。よって、線分Lが通過する範囲を図示すると右図黄緑色着色部。その面積は、△OCDの面積と半径の半円の面積の和で、
......[]



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