早大理工数学'25年[2]
xy平面上で、連立不等式
，
で定まる領域とy軸の
の部分を合わせた図形をDとする。Dに含まれる三角形の面積の最大値を求めよ。
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解答 難問とは言えませんが、「Dに含まれる三角形」という設定に悩まされます。
Dの境界線の1つは、
･･･①
です。
より、
のとき
･･･②
です。
D内に異なる3点をとり、その中でx座標が最大となる点、2点ある場合にはy座標が大きい方の点をPとし、そのx座標を
(
です)とします。3点のx座標がいずれも
になることはありません。三角形ができなくなってしまうからです。
残る2点のうち、x座標が大きくない方の点Rのx座標を
とすると、
です。P，R以外の点をQとします。
直線PQがx軸に垂直になる場合を含め、直線PQの傾き、直線PRの傾きがともに
より大きい場合、△PQRは、Dの境界線の1つである曲線
の
における接線(傾きは
以下です)とx軸，y軸で囲む図形に含まれます。 ･･･③
Pを1頂点とする2辺を含む直線の傾きのどちらか一方が
より小さい場合はその辺をPQとし、あるいは、ともに
より小さい場合、傾きの絶対値が大きい方(傾きが一致することはありません。三角形ができなくなります)の辺を、PQとします。
②より、直線PQと平行な
の接線が存在します。△PQRは、この接線とx軸，y軸で囲む図形に含まれます。 ･･･④
Dに含まれる三角形は、③か④になりますが、
③の場合は、△PQRは、
における曲線
の
接線：
とx軸，y軸で囲む三角形に含まれます。 ･･･⑤
④の場合は、直線PQと平行な接線と①との接点のx座標をt として、接線の方程式は、
･･･⑥
として、
，
⑥とy軸との交点は、
として、
③の場合に
とすれば、③の場合も④の場合も、△PQRの面積は、D内の3点
，
，
で作られる三角形の面積以下になります。
この三角形の面積Sは、
において
より、
とすると、
，
，
，
より、
の増減表は以下のようになります。
増減表より、
において、
は
のときに最大になりますが、このとき、D内の3点は、
，
，
となり、Dに含まれる三角形の面積の最大値は、
......[答]
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