早大理工数学'25年[3]
1からnまでの異なる自然数が1つずつ書かれたn枚のカードが一列に並んでいる。このとき、どのカードも現在とは異なる位置に移動するように並べ替えてできる順列の総数を
で表し、並べ方の総数
に占める
の割合を
で表す。例えば、
，
，
，
，
，
である。次の問に答えよ。
(1) 
の値を求めよ。 (3) 
のとき、
をnを用いて表せ。
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解答 難しかった共通テスト数学IA22年第3問を思い出しますが、それよりもさらに難しくなっています。
(1) 1から4までの自然数が書かれたカードの並べ方は
通りあります(順列を参照)。4種類のカードのうち1枚だけ位置が変わらない並べ方は、
通りあります。4種類のカードのうち2枚だけ変わらない並べ方は2枚の選び方が
通りあり
通りあります。4枚のカードすべて位置が変わらないのは1通り。よって、
......[答] 別解．1から4までの自然数が書かれたカードを
，
，
，
とします。どのカードも現在とは異なる位置に移動する仕方を2通りに分けます。 (i) 現在位置で
と
，
と
，
と
を入れ替えて(3通り)から、残る2枚の位置を入れ替えるのが
通りあり(
と
を入れ替えてから残る2枚の位置を入れ替えるのは、
と
を入れ替えてから、残る2枚の位置を入れ替えるのと同じです)、
通りあります。 (ii) 
，
，
を現在とは異なる位置に移動させた(
通り)後に
の位置(元の
の位置とは異なることに注意)に
を置き、
の位置に
を置くのは
通りあります。この
は
でも
でもよいので、
と
，
と
，
と
の3通りあり、全部で
通りあります。 (i)と(ii)には重複がなく、また(i)と(ii)で、どのカードも現在とは異なる位置に移動するように並べ替えるすべての場合になります。よって、
通り。 (2) 上記の別解の方法で考えます。
のとき、1からnまでの自然数が書かれたカードを
，
，･･･，
とします。 (i) 現在位置で
と
(
)を入れ替えて(
通り)から、残る
枚の位置を入れ替えるのが
通りあり(
と
を入れ替えてから残る
枚の位置を入れ替えるのは、
と
～
のどれかを入れ替えてから、残る
枚の位置を入れ替える場合に含まれます。他の
と
，
と
などの場合も同様)、
通りあります。 (ii) 
，
，･･･，
から
(
)を除いた
枚を現在とは異なる位置に移動させた(
通り)後に
の位置(元の
の位置とは異なることに注意)に
を置き、
の位置に
を置くのは
通りあります。この
の選び方は
通りあり、全部で
通りあります。 (i)と(ii)には重複がなく、また(i)と(ii)で、どのカードも現在とは異なる位置に移動するように並べ替えるすべての場合になります。よって、
......[答] (3) (2)の結果を用いて、
のとき、
と
の関係を調べてみます。 
･･･①
･･･②①，②を見比べて、
よって、
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のとき、
を
と
を用いて表せ。
......[答]