数列演習'08年[17]
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(2項間漸化式) 2点A，Bと、その上を動く1個の石がある。この石は、時刻
では点Aにあり、その後、次の規則(a)，(b)にしたがって動く。
各
に対して、
(a) 時刻tに石が点Aにあれば、時刻
に石が点Aにある確率はc，点Bにある確率は
である。 (b) 時刻tに石が点Bにあれば、時刻
に石が点Bにある確率は2c，点Aにある確率は
である。 ただし、cは
を満たす定数とする。
いま、nを自然数とし、時刻
において石が点Aにある確率を
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 
，
を求めよ。 (2) 
を
とcを用いて表せ。 (3) 
を求めよ。 (4) 
を求めよ。 (広島大理系'08前期)
解答 (1) 
......[答] A→B→Aとなる確率が
A→A→Aとなる確率が
∴ 
......[答]
(2) 時刻
にAにいる(確率
)のは、時刻
にAにいて(確率
)、確率cでAに残るか、または、時刻
にBにいて(確率
)、確率
でAに移る場合だから、
(3) ①で
と
をαに置き換えると、 
･･･②∴ 
(
)①－②を作ると、
は、公比
の等比数列。初項は、 ∴ 
∴ 
......[答]
よって、
......[答]
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