共変微分
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非慣性系(曲がった時空)において、反変ベクトル
を
で微分することを考えます。xを微小変位
させて
，両者での
の差をとって
とすることにより、
とできれば良いのですが、一般座標系では、異なる世界点xと
の間では、言わば座標系の歪みの影響を受けてしまうため、ベクトルの差を取ることができないのです。ちなみに、ローレンツ変換により
→
と変換されるとき、
と表せます。これを
で素直に微分すると、連鎖定理：
より、
･･･①
であれば、第2項だけ生き残って、
となり、
は混合テンソルとして変換されます。平坦な時空におけるローレンツ変換では、
が定数となるので、
となり、
は混合テンソルのように振る舞います。ですが、世界点ごとに
が異なるような変換では、
が混合テンソルにならないので注意が必要です。
そこで、
を世界点
の位置まで平行移動させた
と
の差を取り、
を考えます。
とおくと、
近傍で局所的に平坦だとすれば、
は
と
に比例すると考えられ、比例定数を
とおくと、
･･･②
･･･③
と書くことにします(専門書では別の書き方をしていることもあります)。歪んだ空間上では微分は共変微分で考えます。つまり、
反変ベクトルの共変微分：
･･･④ 
をクリストッフェルの記号と言います。時空の幾何学的状況を表します。テンソルのように見えますがテンソルではありません。
次に、共変ベクトルの微分を考えます。まず、任意の反変ベクトル
と共変ベクトル
のスカラー積
は、平行移動では変化しないので、
②より、
なので、
右辺の添字のλとμは縮約しているので、入れ替えても値に変化はありません。よって、
は任意の反変ベクトルなので、
･･･⑤
∴ 
つまり、共変ベクトルの共変微分：
･･･⑥
となります。
2つの反変ベクトル
，
の積
について、②より、
④の導出と同様にして、
これより、反変テンソル
の共変微分は、
･･･⑦
，
の積
について、⑤より、
⑥の導出と同様にして、
これより、共変テンソル
の共変微分は、
･･･⑧
の共変微分は、
となります。
⑥で、添字のνとμを入れ替えた式とで差をとると、
ここで、ϕをスカラー関数として、
の場合を考えます。
共変微分はテンソルなので、
はテンソルでその差もテンソルであり、ガリレイ系においては通常の微分に一致して左辺は0となり、ある座標系でゼロになれば、他の座標系でもゼロになります。つまり、
･･･⑨
ここで、
を任意の反変ベクトルとして、先の平行移動においてベクトルの4元的長さ
が不変である、という仮定をおきます。世界点xにおける計量テンソルを
，ベクトルを
，世界点
における計量テンソルを
，
を平行移動したベクトルを
として、
，
に、③を代入すると、
さらに、
を微小量であるとして、
を
で展開すると、
(
の2乗以上を無視)
右辺を展開し、さらに
の2乗以上を無視すると、
中カッコ内について、添字を付け替えることにより、
これを代入し、
で割ると、
を任意の反変ベクトルとしたので、
･･･⑩
，
，
と入れ替えて、
･･･⑪
･･･⑫
両辺に
をかけると、
，
より、
･･･⑬
④で
，また、⑥で
とできれば、共変微分は通常の微分になります。そこで⑬により、クリストッフェルの記号を局所的に0にできるような局所慣性系を考えることになります。
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