京都府立大物理'09年[4]
極板の面積が
の平行平板
，
，
が図のように配置されている。極板
，
間の距離は
，極板
，
間の距離は
である。極板の厚さは無視でき、極板間に生じる電場は極板に垂直であるとする。極板間の誘電率は
として以下の問いに答えよ。
(1) はじめ、スイッチSは開いており、極板
，
に電荷
と
を与える。 (ア) これらの電荷によって極板
，
間に作られる電場の強さ
を求めよ。 (2) 次にスイッチSを閉じ、十分時間がたったものとする。
(エ) 極板
，
間の電場の強さ
および、極板
，
間の電場の強さ
を求めよ。 (オ) 極板
に働く力の向きはどちらか。
側を上として答えよ。
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解答 「電荷Qから伸びる電気力線は
本になる」、というのが、高校物理風に述べたガウスの法則ですが、クーロンの法則の比例定数kは、真空の誘電率
との間に、
という関係があるので、電荷Qからは
本の電気力線が伸びることになります。
電場ベクトルの大きさEは、単位面積あたりの電気力線の本数になるので、電荷が面積Sの閉曲面で覆われていれば、
∴ 
となります。この左辺の
という量を「電束」と言います。従って、ガウスの法則を「電束＝電荷」という風に表現することができます。この方が覚えやすいのではないかと思います。「磁束」が
の磁荷から1本出る、と数える磁力線と思えばよいのと同様に、「電束」を、1[C]の電荷から1本出る、と数える電気力線と思っていればOKです。
(1)(ア) 電荷Qをもつ極板
を取り囲む面積
の閉曲面にガウスの法則を適用すると、極板
の作る電場
について、 
∴ 
･･･①
この電場は、極板
から上下に出て行く向き(電気力線の向き)です。電荷
をもつ極板
を取り囲む面積
の閉曲面にガウスの法則を適用すると、極板
の作る電場
について、
∴ 
･･･②
この電場は、極板
に向かって上下から入ってくる向きです。
これより、極板
，
間では、同じ大きさの両電場が
から
に向かう向きに強め合うので、電場の大きさ
は、①，②より、
......[答](イ) 極板
，
間の電場は一様なので、公式：
(電位・電圧を参照)が使えます。極板
の電位は極板
の電位よりも高いことに注意して、極板
，
間の距離がdであることと、(ア)の結果を用いて、極板
の電位、即ち、極板
，
間の電位差
は、 
......[答]
注．これより、(1)の状況下、つまり、極板
，
が電荷
，
を保持しているときの極板
，
間の電圧
は、 
極板
，
間の電場の大きさ
は、
として、ガウスの法則を用いることなく、(1)を解答することができます。極板
，
間に作られるコンデンサーの容量
は、
，
は並列接続になっていて電圧は共通で、電荷Qは、
：
に分かれ、
に蓄えられる電荷量
は、
従って、極板
から極板
に移動した電荷量qは、
......[答] (エ) 
両端の電圧Vは、 
･･･③
，
は並列なので、
両端の電圧もVです。極板
，
間の電場の大きさ
は、
......[答]極板
，
間の電場の大きさ
は、
......[答]
(向きは下向き)極板
，
間に働く力の大きさ
は、
(向きは上向き)
のとき、
より、下向き
のとき、
より、合力は0
のとき、
より、上向き ......[答](カ) 極板
の方が極板
よりも電位が高く、極板
の電位
は、③，(イ)を用いて、 
......[答]
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の電位を
としたとき、
の電位
を求めよ。
から極板
に移動した電荷量
を求めよ。
の電位
を求め、
，d，lを用いて表せ。
，
間に働く力の大きさ
は、
，
間に作られる