阪府大物理'09年前期[1]
図1に示すように、水平面から傾きθの斜面をもった質量Mの台を水平な床面上におき、その斜面上の床面から高さ
の位置Aに質量mの大きさが無視できる小球をおく。ただし、台の側面のOQは床面に垂直である。台を床に固定しておき、小球を静かに離すと、小球は斜面上を滑り落ち、高さhの台の端Oを通過した後、点Qから距離Lだけ離れた床面の点Pに落下した。台の斜面と小球との間に摩擦はなく、空気抵抗は無視できるものとする。重力加速度の大きさをgとして、以下の問に答えよ。
(1) 小球が斜面に沿った方向に、加速度の大きさaで運動しているとして、小球の斜面に沿った方向についての運動方程式を書け。
(2) 小球が点Aから点Oまで移動するのに要する時間tを、h，g，θのうち必要なものを用いて表せ。
(3) 小球が点Oを通過する瞬間の速さ
を、h，g，θのうち必要なものを用いて表せ。 (4) PQ間の距離Lを、h，g，θのうち必要なものを用いて表せ。
次に台の固定をはずし、台が床面を自由に運動できる場合を考える。なお、台と床面との間に摩擦はなく、台の底面は床面から離れることはないものとする。小球を再び床面から高さ
の位置Aにおいた後、静かに小球を離すと、小球が斜面を滑り落ちると同時に台は右の方向に動き出す。小球が台の斜面を滑り落ちて、点Oを通過する瞬間における、小球の台に対する斜面に沿った方向の速さを
，台の床面に対する速さを
として、以下の問に答えよ。
(5) 小球を点Aから離した瞬間と、小球が点Oに達した瞬間との間において、小球と台の水平方向についての運動量保存の法則を、m，M，
，
，g，θのうち必要なものを用いて等式で表せ。 (6) 小球を点Aから離した瞬間と、小球が点Oに達した瞬間との間において、小球と台の力学的エネルギー保存の法則を、m，M，
，
，g，h，θのうち必要なものを用いて等式で表せ。 (7) 
を、m，M，g，h，θのうち必要なものを用いて表せ。
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解答 相対運動の標準問題です。
(1) 小球に働く力の斜面に沿う方向の成分は、重力
の斜面に沿う方向の成分で
......[答]
(2)小球は、この間に斜面に沿って
動くので、等加速度運動の公式より、 ∴ 
......[答]
(3) 等加速度運動の公式より、
......[答]
(4) 点Oを通過した後の小球の運動は、水平方向に速さ
の等速度運動、鉛直方向に加速度g，初速度
の等加速度運動です。 Oを通過してPに落下するまでの時間を
として、等加速度運動の公式より、 ∴ 
∴ 
......[答]
(5) 床面で小球の運動を見るとき、小球の速度の水平成分は、
，鉛直成分は
です。水平方向の運動量保存則より、 
......[答]∴ 
･･･①
......[答]∴ 
･･･②
(7) ①を②に代入して、
∴ 
......[答]
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