九大物理'09年[3]
文中の空欄 ア から ソ にあてはまる数式を答えよ。ただし、角度および角速度の単位は、それぞれradおよびrad/sとし、円周率はπとする。必要があれば、三角関数の公式
を用いてよい。また、θ の大きさが十分小さいときには、
，
とせよ。
問1 図4のように、xy平面上で時計回りに角速度の大きさがω で等速円運動をする物体を考える。xy座標の原点を円の中心とし、時刻tでの物体の位置
を
と表す。ただし、円の半径をrとし、時刻0では
とする。同様に、速度
を
，加速度
を
と表す。答えは、r，ω，tの中から必要な記号を用いて表せ。時刻tでの物体の位置については、
ア ，
イ である。時刻0から
までの位置の変化
は、
が十分小さいときには
に等しいので、
ウ ，
エ である。
と
のなす角は
であるから、
オ ，
カ となる。同様に、速度の変化
は
に等しいので、
キ ，
ク である。
と
のなす角は
であるから、
ケ ，
コ となる。 
問2 図5のように、質量mの多数の物体を、質量が無視できるバネ定数kの同じバネでつなぎ、なめらかな水平面上の直線(x軸)に沿って静止させる。このとき、各物体の間隔はdであり、左端からn番目の物体の位置
を
とする。次に、それぞれの物体を振幅r，角振動数ω でx方向に単振動させる。時刻tにおいて、n番目の物体がはじめに静止していた位置
からの変位を
とする。以下では、すべての物体の変位が図6に示すように波長λの正弦波上にあり、時間の経過にしたがって、この正弦波がx軸の正の向きに進む場合を考える。このとき、λはdにくらべて十分に大きく、物体に作用する力はバネによるもののみとする。 答えは、r，ω，t，d，λ，m，kの中から必要な記号を用いて表せ。
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解答 問1では、近似計算を促すような誘導がついていますが、入試問題としては教科書準拠義務があるとしても、空所補充問題で解法が問われることもなく、近似前の結果も問われておらず、受験生は微分して解答すればOKです(変位・速度・加速度を参照)。
問2(セ)は符号がややこしいので注意してください。
問1 この問題では回転角をy軸正方向から時計回りに測っていますが、y軸を横軸、x軸を縦軸にとって見れば、x軸正方向から反時計回りに角を測る場合と、x座標とy座標が入れ替わっているだけです(等速円運動を参照)。 (ア) 
......[答]
(イ) 
......[答]物体の速度
について、 
，
(ウ) 
......[答]
(エ) 
......[答]
(オ) 
......[答]
(カ) 
......[答]物体の加速度
について、 
，
(キ) 
......[答]
(ク) 
......[答]
(ケ) 
......[答]
(コ) 
......[答]注．問題文の誘導は問2との関連で言うと、速度ベクトル
は位置ベクトル
よりも位相が
進んでいて、加速度ベクトル
は速度ベクトル
よりも位相が
進んでいて、時刻tにおける速度
，加速度
は、時刻0における速度
，加速度
を
だけ回転させたものだ、と、言いたいのだろうと思います。
問2(サ) P番目の物体と
番目の物体の位相差、また、
番目の物体とP番目の物体の位相差は、距離d，波長λより、
です。 時間の経過に従って、正弦波はx軸正方向に進むので、
番目の物体の変位はP番目の物体の変位よりも、位相が
だけ進んでいて、P番目の物体の位相が
なら、
番目の物体の位相は
です。つまり、
番目の物体に対応する等速円運動の回転角は、
......[答] (シ) 同様に、
番目の物体の変位はP番目の物体の変位よりも、位相が
だけ遅れていて、P番目の物体の位相が
なら、
番目の物体の位相は
です。つまり、
番目の物体に対応する等速円運動の回転角は、
......[答] (ス) 
を問1の
と同様に考えて、P番目の物体の加速度
は、 
......[答](セ) 
番目の物体とP番目の物体の間のバネの伸び
は、 P番目の物体が左側のバネから受ける力は、符号に注意して、
･･･①
番目の物体とP番目の物体の間のバネの伸び
は、P番目の物体が右側のバネから受ける力は、符号に注意して、
･･･②①＋②より、P番目の物体が左右のバネから受ける力の合力は、
･･･③
......[答](ソ) P番目の物体の運動方程式：
と、(ス)、③より、 
......[答]
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であり、単振動の変位は
であった。このとき、
番目と
番目の物体に対応する等速円運動の回転角は、それぞれ サ と シ となり、
( サ )，
( シ )となる。時刻tにおいて、P番目の物体の加速度は ス であり、P番目の物体が左右のバネから受ける力の合力は セ 
であるので、この物体の運動方程式から、ω とλの間には
ソ の関係がある。
