阪大物理'10年前期[2]
電気力線について考察しよう。真空中に置かれた電気量
(
)の正の点電荷から発生する電気力線の総本数NはQに比例する。そこで、比例係数Aを用いて
で与えられるとしよう。また、点電荷から発生する電気力線は、全ての方向に等しく放射状に広がる。このとき、電場(電界)の強さ
は、電気力線に垂直な面を考え、それを通過する電気力線の単位面積当たりの本数nに比例する。そこで、比例係数Bを用いて
で与えられるとしよう。電場ベクトルの向きは電気力線の向きに等しい。一方、負の電気量の点電荷に対する電気力線は向きが逆になる。これらのことを踏まえて以下の問いに答えよ。なお、解答には係数A，Bを用いてよいが、問題中で与えられていない記号を用いてはならない。
Ⅰ．図1のように、原点Oに電気量
(
)の点電荷を置いた。 問1 点電荷
から距離
の点における電場ベクトルについて、動径方向(半径rの球面に垂直でrが増す方向)の成分を示せ。 問2 図2(a)または(b)のように、
のところに電気量
のもう一つの点電荷を置いた。このとき、二つの点電荷を通る直線上の点Pでの電場ベクトルについて、動径方向の成分を示せ。ただし、点電荷
から点Pまでの距離をaとし、図2(a)の
の場合と図2(b)の
の場合について、それぞれ答えよ。
Ⅱ．厚さが無視できる平板上に電荷を分布させた面電荷について考察しよう。図3のように、平板はz軸に垂直で
にあり、x軸方向とy軸方向にそれぞれ十分に広い幅
と
をもつ。この平板上に単位面積当たりの電気量が
となるように電荷を一様に分布させた。なお、以下の問いでは面電荷のふちの効果は考えなくてよい。問3 図3に示した面電荷による
での電場ベクトルについて、z軸方向の成分を示せ。 問4 図3で与えた
の面電荷に加えて、図4のように、
だけ離れた
のところに同様の面電荷を与えた。ただし、単位面積当たりの電気量を
とした。このとき、
，
，
の3つの領域における電場ベクトルについて、z軸方向の成分をそれぞれ示せ。
Ⅲ．図4において
(
)とし、また、二つの平板は導体でできた極板とすると、二つの面電荷はコンデンサーの二つの極板に蓄えられた電荷と等しくなる。 問5 二つの極板を互いに接触しない範囲で十分に接近させた状態から、面間隔dの状態まで広げるのに必要なエネルギーを示せ。
問6 面間隔dの状態において、二つの極板の間の電位差の大きさを示せ。また、この結果を用いて、コンデンサーとして考えたときの電気容量を示せ。
Ⅳ．図4において
(
)とした状態で、導体でできた極板の間に誘電体を挿入した。誘電体の厚さはd，x軸方向とy軸方向の幅は極板のサイズと等しく、それぞれL，Mとする。 問7 極板の間を全て満たす位置に誘電体を挿入した。このとき、誘電分極(不導体の静電誘導)によって誘電体の上と下の面に見かけの面電荷が発生した。その結果、問6で求めた誘電体を挿入しない場合に比べて極板の間の電位差は、この面電荷によってf倍になった。ここでfは誘電体の種類によって決まる1より小さな正の定数である。誘電分極によって誘電体の下の面に発生した見かけの面電荷について、単位面積当たりの電気量を示せ。さらに、極板をコンデンサーとして考えたときの電気容量を示せ。
問8 問7の状態から誘電体を部分的に引き抜き、図5のように、x軸方向に深さ
(
)まで挿入した状態とした。誘電体が挿入されている領域と挿入されていない領域における下の極板(
)の面電荷について、単位面積当たりの電気量をそれぞれ示せ。問9 問8の状態において、二つの極板の間の電位差の大きさと、コンデンサーとして蓄えられている静電エネルギーを示せ。
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解答 「誘電体を挿入するコンデンサー」という題材自体は頻出のものですが、既成の考え方を機械的にあてはめることができないように工夫されていて、考えづらい問題です。特に問8は、問6、問7をうまく利用する必要があります。
Ⅰ．問1 電荷
から
本の電気力線が発生します。Oを中心とする半径rの球面の面積は
です。点電荷
をOに置くとき、Oから距離
の点において、単位面積当たりの電気力線の本数は、
電場ベクトルの動径方向成分は、
......[答]
問2 問1の結果より、電荷
が点Pに作る電場は、大きさ
で、向きは動径方向正方向です。 電荷
が点Pに作る電場は、大きさ
で、向きは、図2(a)の
の場合には動径方向負方向、図2(b)の
の場合には動径方向正方向です。
重ね合わせの原理より、点Pにおける電場の動径方向成分は、
の場合には、
......[答]
の場合には、
......[答]
Ⅱ．問3 平板の面積は
で、平板に分布する面電荷の総電気量は
，平板の面電荷から発生する電気力線の総本数は
本，平板をぴったりと覆う閉曲面を考えると、その面積は
，単位面積当たりの電気力線の本数は
，電場の大きさは、
，向きは、
の場合、平板から出て行く向きで、
の部分ではz軸正方向です(ガウスの法則を参照)。 面電荷による
での電場のz軸方向成分は、
......[答]電場の向きは
の部分ではz軸負方向で、
での電場のz軸方向成分は、
です。 問4 問3と同様に、
に位置する面電荷の作る電場のz軸方向成分は、 
において、
，
において、
重ね合わせの原理より、両面電荷の作る電場のz軸方向成分は、
において、
......[答]
において、
......[答]
において、
......[答]
Ⅲ．問5 
に位置する面電荷の総電気量は
ですが、この面電荷が、
に位置する面電荷により
の部分に作られる電場
から受ける電気力は、
(マイナスはz軸負方向の力であることを意味します) 両極板を広げるのに必要なエネルギー、即ち、この電気力に逆らうz軸正方向の外力
が面電荷を距離dだけ移動させるときにする仕事は、
......[答] 問6 問4の結果より、
において電場は一様で、 
･･･①公式：
(電位・電圧を参照)より、極板間の電位差の大きさVは、 
......[答]注．距離dの極板間の電位差が、単位面積当たりの電気量qに
をかけたものになることに注意してください。 コンデンサーに蓄えられた電荷は
で、公式：
(コンデンサーを参照)より、コンデンサーの静電容量は、
......[答]
Ⅳ．問7 誘電体を挿入した後の極板間の電位差
は、問6の結果をf倍して(誘電分極を参照)、 注．極板間に誘電体を挿入すると、距離dの極板間の電位差は、単位面積当たりの電気量qに
をかけたものになることに注意してください。 極板間の電場の大きさ
は、公式：
より、 極板間には、電気力線が単位面積当たり
本、発生しています。
①より、極板間には、もともと、大きさ
の電場があり、単位面積当たり
本の電気力線が発生していました。
誘電体の挿入により、極板間に
本あった電気力線が
本に減った、ということは、誘電体の上と下の面に見かけの面電荷が発生して、
，
の面電荷から発生した電気力線の一部
本が、見かけの面電荷に終端してしまった、ということを意味しています。
の面電荷と対向する誘電体の表面、つまり、誘電体の下の面には、
とは逆極性の電荷(負電荷)が発生し、この面に発生した見かけの面電荷の単位面積当たりの電気量は、 
......[答]コンデンサーに蓄えられている電荷は
のままで、公式：
より、静電容量は、 
......[答]問8 誘電体が挿入されている部分の面積は
で、問7と同様に、静電容量は
誘電体が挿入されていない部分の面積は
で、静電容量は
2つのコンデンサーは並列接続されていて、合成容量は、 コンデンサーに蓄えられている電荷は
のままで、公式：
より、極板間の電位差
は、 
･･･②問7の注．を利用して、誘電体が挿入されている領域の単位面積当たりの電気量は、
......[答]問6の注．を利用して、誘電体が挿入されていない領域の単位面積当たりの電気量は、
......[答]問9 ②より、極板間の電位差の大きさは、
......[答] 
......[答]
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