阪大物理'10年後期[3]

阪大物理'10年後期[3]

光の干渉現象を利用した物体の移動距離の測定について考察しよう。

Ⅰ．図1に示すように、レーザー光源から出た光をハーフミラーH1に入射する。ハーフミラーは入射した光のうち一部を反射し、残りを透過する装置である。光路1は、P1，P2，P3，P2，P5を通り光検出器に至る経路である。また光路2は、P1，P4，P5を通り光検出器に至る経路である。光路1を通る光(光線1)は、H1およびハーフミラーH2を透過した後、移動体に固定された反射鏡M2によって反射される。さらにH2で反射されて下方に進み、ハーフミラーH3を透過した後、光検出器に入射する。一方、光路2を通る光(光線2)は、H1で反射された後、反射鏡M1およびH3によって反射されて光検出器に入射する。光検出器では、光線1と光線2は干渉した光の明るさ(光の強度)を検出する。移動体を動かすと干渉した光の強度が変動する。これによって、移動体の移動距離を測定することができる。レーザー光源からH1までの距離は

，H1からH2までの距離およびM1からH3までの距離は等しく

，H1からM1までの距離およびH2からH3までの距離は等しく

である。レーザー光の波長を

として、以下の問いに答えよ。ただし、ハーフミラーはいずれも厚さが無視できるものとする。また、光線2を遮断して光線1のみを光検出器に入射したときの強度と、光線1を遮断して光線2のみを光検出器に入射したときの強度が同じになるよう、ハーフミラーの反射率および透過率を調整してある。

問1　移動体の上にある反射鏡M2の位置をx座標で表す。ただし、H2から距離dの位置を原点(

)とし、右向きを正にとる。M2が位置xにあるとき、光線1と光線2の光路長の差(光路差)を

，

，dおよびxのうち適切なものを用いて表せ。

問2　M2がH2よりdの距離(

)にあるとき、光線1と光線2はちょうど同位相となって強めあった。光がハーフミラーおよび反射鏡の表面で反射するときは固定端反射となり、入射光と反射光が逆位相となる。光線2は光線1より反射する回数が1回多いため、光線1と光線2の光路長が等しいときは逆位相になって弱め合う。このことを考慮して、dの満たすべき条件を

，

のうち適切なものと整数m (

)を用いて表せ。

問3　M2の位置xを変化させて、光検出器によって検出される光の強度(干渉光強度)Iを測定した。このときIは、

を定数として、以下に示す式で表されることがわかった。

　　(a)

式(a)中のϕは、光線1と光線2の光路差によって生ずる光の位相の差を表しており、光線1と光線2の位相差と呼ぶ。ϕを

，

およびxのうち適切なものを用いて表せ。

問4　M2が位置xにあるとき、干渉光強度Iはちょうど

であった。その後、M2を

(

)に移動させたとき、Iは単調に減少して0となった。このときの移動距離

を求めよ。ただし、レーザー光源の波長を

(

)とする。解答の数値は単位をnmとして有効数字3桁で求めよ。

Ⅱ．次に、図2に示すように、反射鏡M1とハーフミラーH3の間に光の振動数をわずかに変化させる素子(周波数シフター)を挿入した。周波数シフターは、振動数が

の光を、

よりわずかに大きい振動数

の光に変換することができる。以下の問いに答えよ。ただし、周波数シフターの効果は振動数の変化だけであり、光線2の強度および光路長は変化させないものとする。

問5　振動数が少しだけ異なる2つのおんさを同時に鳴らすと、うなりの現象が起こり、音の大きさが周期的に変化して聞こえる。光も音と同様であり、異なる振動数をもつ2つの光を重ね合わせると、うなりの現象が起こり、時間とともに変化する光強度(光のうなり)が観測される。図2の光検出器で検出される光のうなりの周期

を、

および

を用いて表せ。

問6　以下の文中の　　に適切な数式または数字を解答欄に記入せよ。

時刻

において、M2が

にあるとき、光線1と光線2が同位相で重なり合ったとする。このとき、図2の光検出器で検出される干渉光強度Iは、時間t，

および

を用いて、

　　(b)

と表すことができる。レーザー光線として

の赤色の光を用い、周波数シフターで光線2の振動数が

となるとき、1秒あたりのうなりの回数は

となり、光強度の時間変化を検出することが可能となる。光線1の波長は

，光線2の波長は

であり、その差は

程度である。このように光線1と光線2の波長の差は非常に小さいため、波長による位相の差は生じないとすることができる。このことを考慮すれば、時刻

において、M2が位置xにあるときの干渉光強度Iは、時間t，

，

および問3の式(a)における光線1と光線2の位相差ϕを用いて、

　　(c)

と表すことができる。したがって、M2が

にあるときの干渉光強度で、M2が位置xにあるときの干渉光強度を、同時に測定できるように装置を工夫すれば、二つの時間波形の位相差を検出することにより、移動距離をより高精度に測定することができる。

問7　M2は

にあるとき、干渉光強度Iの時刻

からの時間変化のようすをグラフに描け。なお、解答用紙のグラフに示してある曲線は、同時に測定されたM2が

にあるときの干渉光強度の時間変化である。

問8　検出できる最小の位相差が

であるとき、光のうなりを利用した方法で測定できるM2の最小移動距離を求めよ、ただし、波長は

を用いることとし、解答の数値はnmを単位として有効数字3桁で求めよ。

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解答　難問というわけではないのですが、「位相」や「うなり」について完全に理解していないと答えられません。
周期T，波長λ，振幅Aの時刻t，位置xにおける変位yは、初期位相をδ (

のときの位相)として、

　(正弦波の式を参照)

で与えられます。x軸正方向に進む正弦波では複号がマイナス，x軸負方向に進む正弦波では複号はプラスを採ります。この中カッコの中が「位相」です。周期は波1個分の時間、波長は波1個分の距離ですが、波1個分の位相は

です。

は波何個分か、ということを表していて、これに

をかけると「位相」になるわけです。

Ⅰ．問1　光路1の長さ

は、

光路2の長さ

は、

光線1と光線2の光路長の差(光路差)は、

......[答]

問2　

のときの光路差は、

です。このとき、光線1と光線2が同位相で強め合う条件は、光路長が等しいときに逆位相になることを考慮して、光路差が波長の整数倍から半波長だけずれることであって(波の干渉を参照)、

　(

) ......[答]

問3　光線1が固定端で2回反射していることを考慮して、光線1の位相は

，光線2は固定端で3回反射しているので、光線2の位相は

(波の反射を参照)，光線1と光線2の位相差ϕは、

　(∵ 問1)

　(∵ 問2)

位相から

の整数倍を除いても、変位は変わらないので、求める位相差は、

......[答]

注．上記のように、距離を波長で割って

をかけたものが位相です。mを整数として、

なので、位相のうち

の整数倍を除いても、正弦波の変位は変わりません。

問4　M2が位置xにあるときに光線1と光線2は同位相になっていました。M2を

に移動させたときに干渉光強度が0になるということは、このときに光線1と光線2が逆位相になるということなので、問3の結果で、

とすると、位相差ϕはπになります。

∴

......[答]

Ⅱ．問5　光のうなりの振動数(1秒あたりのうなりの回数)は、

です。光のうなりの周期

は、

......[答]

問6(1)

かつ

のときに光線1と光線2が同位相なので、時間

に対応する位相差は、

......[答]

注．問3と同様に、時間を周期で割って

をかけたものが位相になります。

(2) 1秒あたりのうなりの回数は、

......[答]

(3)

なので、問5では、うなりの回数を、光線2の振動数

から光線1の振動数

を引く、として計算しました。光線1に対する光線2の位相を考えることになります。M2が位置xにあるときの位相のズレは問3のϕなのですが、距離

の分だけ光線1が光線2に対して遅れるので、光線2の方は逆に光線1に対してϕだけ位相が進むことになります。よって、M2が位置xにあるときの位相差は、

......[答]

注．光速を

として、

です。光源から光検出器までの光路1の距離を

として、光線1の正弦波の変位

は、

　･･･①

として、光線2の正弦波の変位

は、光源から光検出器までの光路2の距離を

とし、位相がπずれることを考慮して(問3では

としているので、光線2に対する光線1のズレを考えていますが、ここでは、

とするので、光線1に対する光線2のズレを考えます)、

　･･･②

両波を重ね合わせると、

　･･･③　(和を積に直す公式を利用)

問題文にあるように、

，

の差が小さく、

　(∵ 問1)

問3の計算を用いて、

③の

は、振動数

の正弦波を意味しています。③の

の部分が波の振幅に相当し、

となりますが、これは、振動数

の正弦波を表していて、これが、うなりに相当します。振動数がうなりの振動数の

になっていますが、これは、人間の感覚が、うなりを光や音の強度で感じるためです。波の強度は振幅の2乗に比例することが知られています。

　(半角の公式を参照)

より、波の強度、つまり、うなりの振動数は

となります。また、この式から、うなりの位相差はϕであることがわかります。この式の右辺の中カッコ内が光線1と光線2の位相差を表していて、時刻t を時間

に代え、

となります。

問7　問6問題文の「二つの時間波形の位相差」を実際に確かめてみようという問題です。問3の結果で

として、

問6(3)の位相差は

となります。

このグラフは、M2が

にあるときの干渉光強度：

のグラフを

周期分だけ時間軸と逆の方向にずらせたグラフになります。図示すると右図実線。

問8　問3の結果を用いて、

......[答]

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