静岡大物理'10年[2]
電流と電圧の関係が図1で表されるような電球がある。ここで、電圧
と電流
の間の関係式は、
(
)，
(
)
と表され、また、電球の明るさはその消費電力に比例するものとする。この電球と、起電力
，内部抵抗
の電池を用いて回路を作った。以下の問いに答えよ。ただし、数値は有効数字2桁で答えよ。
問1 図2のように、この電球を電池1個につないだとき、電球に流れる電流
を求めよ。
問2 図3のように、電池2個を並列につないで電源とし、これに電球をつないだ。このとき、電球に流れる電流
を求めよ。
問3 「電流と電圧の関係が図1で表されるような電球の場合、2個の電球の明るさが同じとき、電球の電圧、電流はそれぞれ等しい」ことを説明せよ。
問4 図3の回路について、新たに抵抗をつないで図2の電池1個の場合と同じ明るさになるようにした。(1) 図4のように抵抗をつないだとき、抵抗の大きさ
を求めよ。 (2) 図5のように抵抗をつないだとき、抵抗の大きさ
を求めよ。
問5 この電球2個と電池1個、および抵抗を用いて、図6のような2通りの回路AとBを作った。回路Aと回路Bの電球の明るさが同じとき、抵抗の大きさ
を求めよ。ただし、途中経過を説明しながら記述すること。
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解答 電池や非線形抵抗が直列になったり並列になったりするので、解けるのだろうか、と、思ってしまいますが、本問では、解けるようにうまく工夫されています。
図1において、
のとき、与えられた関係式より、
です。
･･･①∴ 
......[答] (
を満たす)①より、このとき
です。 注意．
とすると、
このときは、
より、
より
となりますが、
を満たさないので不適です。
また、①のグラフを図1に書き込んで交点のVとIの値を読むことによっても解答できます。ここでは、あらかじめ、グラフからおよその値を知って、
のときの式、
のときの式を選んで、数式を用いて解答するのがよいでしょう。
･･･②∴ 
を満たすので、
......[答]②より、このとき
です。
注意．
とすると、
このときは、
より、 
より
となりますが、
を満たさないので不適です。
また、②のグラフを図2に書き込んで交点のVとIの値を読むことによっても解答できます。
問3 2個の電球の明るさが等しいとき消費電力
も等しくなります。 
(
)のとき、
(
)のとき消費電力Pは、
において、Iの単調増加関数なので、消費電力Pが等しければ、電球の電流Iも等しく、さらに、電球の電圧Vも等しくなります。
問4 問3より、電球の電流は
，電圧は
です。 ∴ 
......[答] ∴ 
......[答]
問5 問3よりAとBで電球の電流と電圧は同じ値になります。電球の電流を
，電圧を
とします。 Aでは、抵抗
，また、内部抵抗に流れる電流は
です。キルヒホッフ第2法則より、
･･･③Bでは、抵抗
，また、内部抵抗に流れる電流は
です。キルヒホッフ第2法則より、
･･･④③×2－④より、
∴ 
このとき、与えられた関係式より
③より、
∴ 
......[答]
追記．せっかくなので、問5で
の値が与えられていて、電球の電流と電圧を求めることを考えてみます。 問5のAで、
だとします。③は、 になります。このグラフを図1に書き込んで、交点のVとIを読めば、電球の電流と電圧を求めることができます。
数式でやるのなら、このときは、
，
なので、
として、 になります。このグラフを図1に書き込んで、交点のVとIを読めば、電球の電流と電圧を求めることができます。
この場合も、
，
なので、
として、 
より
，
非線形抵抗が直列や並列になっていても、1個のときと同様に解答できることを覚えておいてください。
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とすると、
より、
より、
となり、内部抵抗による電圧降下は
です。電球両端の電圧を
とすると、キルヒホッフ第2法則より、
とすると、
より、
より、
です。内部抵抗の電圧降下は
，抵抗
の電圧降下は
なので、キルヒホッフ第2法則より、
に流れる電流は
，電球と抵抗
が並列になっているので、両者の電流を合わせて、
，電池1個に流れる電流は、
，キルヒホッフ第2法則より、
より
，
だとします。④は、
とすると、
，内部抵抗による
