東北大物理'10年[1]
図1のように、半径Rの円柱を4分の1にした台(以下、曲面台とよぶ)を水平な床面に置き、その曲面台の上方に左端が固定されたばねをのせた台を水平に配置する(以下、水平台とよぶ)。ばねの右端部には互いに連結された質量
の小球Aと質量mの小球Bが取り付けてある。曲面台の最上部Sから水平台上面までの高さhは、水平台を水平のまま上下させることで変えることができる。重力加速度をg，ばね定数をk，曲面台と小球のはねかえり係数を1 (弾性衝突)とする。また、小球A，Bの大きさ、水平台の厚み、摩擦、空気抵抗の影響は無視でき、小球A，Bは紙面内でのみ運動し、曲面台は床面に固定されているものとして以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。
問(1) ばねを自然長からdだけ縮めてから手を離すと単振動を起こした。最初、小球A，B間は互いに連結されているが、何周期か振動した後、小球が右方向に運動していて、ばねがちょうど自然長となったとき、小球A，Bの間の連結を切り離した。
(a) 切り離す前の周期
と切り離した後の周期
の比
を求めよ。 (b) 切り離した直後の小球Bの速度vを、m，g，k，dの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 切り離した後の小球Aの振幅
を、m，g，k，dの中から必要なものを用いて表せ。
問(2) 切り離された小球Bは、水平台上を移動した後、水平台の右端から速度
で飛び出した。その後、図1のように
となる曲面台表面の点Pに衝突し、さらに、はねかえって床面上に落下した。このとき、
とし、小球Bは点Pで曲面台の表面に接するなめらかな平面ではねかえるとみなせることとする。 (a) 点Pに衝突するために必要な速度
を、m，g，Rの中から必要なものを用いて表せ。 (b) 点Pで、はねかえり直後における小球Bの速度のx成分とy成分を、m，g，R，
の中から必要なものを用いて表せ。ただし、水平右向きをx軸の正の向き、鉛直下方をy軸の正の向きとする。
問(3) 
のとき、図2のように、小球Bは水平台表面から速度vで曲面台に到達し、さらに曲面台表面上を移動した後、ある点Dで曲面台表面から離れた。このとき、点Dの床面からの高さをHとし、水平台表面と曲面台表面はなめらかにつながっているものとする。(a) 図2のように
をαとしたとき、
をg，R，m，vの中から必要なものを用いて表せ。 (b) 
の場合、すなわち曲面台の頂点Sで、小球Bがすぐに曲面台から離れる速度の最小値
を、g，R，mを用いて表せ。 (c) 点Dの高さHと速度vの関係を解答用紙のグラフに実線で描け。ただし、vが問(3)(b)の
よりも大きいときと小さいときの両方の場合について示せ。また、vが限りなく0に近いときと
のときのHの値をグラフの縦軸上に記せ。
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解答 力学全般を網羅している標準問題です。難問というわけではありませんが、力学全般について理解していないと答えられません。
問(1)(a) 単振動の公式：
より、切り離す前の周期
は、質量がA，B合わせて
だから、 切り離した後の周期
は、質量がAのみの
だから、 ∴ 
......[答]切り離す前の単振動の角振動数
は、
切り離した後の単振動の角振動数
は、
(b) 単振動の公式：
より、切り離す前の振幅はdで、切り離す瞬間にばねが自然長で2つの小球の速さ最大だから、速度vは、右向きを正として、 
......[答]
(c) 切り離した直後のAの速度もvです。切り離した後、Aだけで単振動するときの角振動数は
だから、単振動の公式：
より、切り離した後のAの振幅
は、(a)，(b)より、 
......[答]
問(2)(a) 水平台右端よりPまで、Bは、水平方向に
，鉛直方向に
だけ移動します。また、この間に要する時間を
とすると、水平方向の移動について、 
∴ 
∴ 
......[答]
(b) Pに衝突する直前のBの速さを
とします。重力による位置エネルギーの基準を点Pにとると、水平台から飛び出す瞬間に、Bは運動エネルギー
と位置エネルギー
を持っています。Pに衝突する直前にBは運動エネルギー
を持っています。力学的エネルギー保存より、 問(2)(a)の結果を用いて、
∴ 
右図の衝突直前直後の速度のベクトル図において、弾性衝突でBの速さ
は変化せず、衝突面の法線が水平面となす角が
であることから、直角三角形PQRと直角三角形PSTは合同です。従って、はねかえり直後の速度の鉛直成分(y成分)は、衝突直前の速度の水平成分
に等しく、はねかえり直後の速度の水平成分(x成分)は、衝突直前の速度の鉛直成分
に等しくなります。
はねかえり直後における小球Bの速度は、問(2)(a)の結果を用いて、 x成分：
......[答]
y成分：
......[答]
問(3)(a) Dにおける速さを
とします。Dにおいて、Bに働く力は重力
のみで、円運動の中心方向に向かう成分は
です。運動方程式は、 
･･･①重力による位置エネルギーの基準を点Dにとると、水平台から飛び出す瞬間に、Bは運動エネルギー
と位置エネルギー
を持っています。DにおいてBは、運動エネルギー
を持っています。力学的エネルギー保存より、 ①より、
∴ 
∴ 
......[答]
(b) 
となるのは、
のときで、 ∴ 
小球Bがすぐに曲面台から離れる速度の最小値
は、
......[答]
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(c) 問(3)(a)の結果より、
のとき、
のとき、
(
のときも
)
のとき、