京大物理'02年前期[2]
次の文A，Bを読んで、 に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、単位系は国際単位系(SI)を用い、すべての装置は真空中に置かれているものとして、真空の透磁率を
とする。
A．図1および図2に示すように、水平面上にある十分に長い直線導体Pに直線電流Iが流れている。2本の直線導体Qおよび
が導体Pを含む水平面内にあり、導体Pから距離xの位置において導体Qと
の間隔がxに等しくなるように配置されている。これら2本の導体の上に、質量mの直線導体Kがおかれていて、導体Pと平行のままx方向に摩擦なしに動くことができる。
(1) 図1に示すように、導体Kを一定速度vでx方向に運動させる。導体Kが
に達したとき、導体Kの位置における磁束密度の大きさは あ で与えられ、導体Kが導体Qおよび導体
と接触する2つの点、cと
の間に発生する起電力は い となる。
(2) 図2に示すように、導体Kが位置
に静止した状態で、導体Qと導体
の間に抵抗Rを介して起電力Eの電池を接続し、ループ回路を構成する。ただし、導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は直線電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。このとき、導体Kには大きさ う の力が働き、x方向に動き始める。
に達したときに導体Kの速度がvであったとすると、そのとき導体Kを流れる電流は え であり、導体Kの加速度は お と表される。そして十分長い時間がたつと、導体Kの速度は一定値 か に近づいていく。
B．図3に示すように、2本の十分長い直線導体Pおよび
がy軸に平行に
および
の位置に並んでいて、いずれにもy軸の正の方向の直線電流Iが流れている。これらの導体と同じ平面内にx軸に平行な2本の直線導体Qおよび
が間隔hで並んでいて、導体Qと導体
の上にはy軸に平行のまま摩擦なしにx軸に沿って動くことのできる質量mの直線導体Kがおかれている。ここでx軸，y軸は水平面内にある。導体Qと導体
の間には、抵抗RとスイッチSを介して起電力Eの電池が接続されており、はじめはスイッチを開いておく。導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。
(1) 紙面に対して上向きをz軸の正の方向とすると、位置xにおけるz方向の磁束密度は き で与えられる。導体Kが原点
近傍の位置
に静止した状態でスイッチSを閉じると、導体Kにはx方向の力 く が働く。距離bがdに比べて十分短く
が成り立つとき、導体Kに働くx方向の力は け と近似することができる。
(2) 初期位置
が原点
に十分近く、導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力は電池の起電力Eに比べて無視できると仮定する。このとき、導体Kは
の近傍において角振動数ω＝ こ で単振動する。
(3) 導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力が電池の起電力Eに比べて無視できる条件を求めてみよう。はじめに導体Kが
の位置で静止していて、スイッチSを閉じた後
のまわりで単振動しているとき、導体Kに発生する起電力の最大値は角振動数ωを用いて さ と表される。したがって、この起電力が電池の起電力Eに比べて無視できるための条件は、(2)で求めたωの表式を代入することによって、b≪ し と表される。
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解答 コの字型回路ならぬハの字型回路の問題です。
A．(1)(あ) 
における磁界は、
，磁束密度は、
......[答] 磁界の向きは、右ねじの法則により、紙面手前より向こう向きです。
(い) 導体Qと導体
に挟まれた部分で導体Kが微小時間
の間に通過する部分(台形)の面積は、 
を無視して、
を貫く磁束は、
......[答] (問題文に起電力の向きについての指定がないので、大きさを答えておく)フレミング右手の法則より、運動の方向(親指)がx方向、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向きで、起電力の向き(中指)は、
の方向です。
(2)(う) 
における磁束密度は(あ)の結果において
として、 導体Kが受ける力の大きさは、
......[答]フレミング左手の法則より、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向き、導体Kの電流の方向(中指)はy軸負方向で、力の方向(親指の方向)はx軸正方向です。
(え) (い)の結果より、起電力の大きさは導体Kの移動中に
(向きは
の向き)で一定です。よって、導体Kを流れる電流は、 
......[答] (電流正の向きの指定がないので、起電力Eの流す電流を正として答えておく)
(お) 導体Kのx軸方向の加速度をαとして、運動方程式：
∴ 
......[答]
(か) はじめ
なので、
ですが、
なので次第にvが増大して、
となり、 よって、
∴ 
......[答]
B．(1)(き) 位置xとPの位置
との距離は
，位置xと
の位置
との距離は
Pの電流が位置xに作る磁界はz軸正方向を正として、
，
の電流が位置xに作る磁界は、
位置xにおける磁束密度は、 
......[答]
(く) (き)の結果において
として、
導体Kの受ける力の向きは、フレミング左手の法則より、磁界の向き(人差し指)がz軸正方向、導体Kを通過する電流の向き(中指の向き)がy軸負方向で、力の向き(親指)はx軸負方向なので、x軸方向の力の符号を負として、導体Kの受ける力は、 
......[答]
(け) (く)の結果において、
により、
を無視すると、 
......[答]
(2)(こ) 導体Kが位置xにいるときに働く力は、(け)の結果で
としたものになります。 導体Kのx方向の加速度をβ として、運動方程式：
∴ 
これは、角振動数
......[答] の単振動を表します。
(3)(さ) 導体Kが位置xにいるときの導体Kの速度をv，導体Kの位置における磁束密度をBとします。 (き)の結果で
として、 導体Kに発生する起電力は
となりますが、ここでは、vとBがともに変化するので注意が必要です。
とすると、 これより起電力の最大値は、
......[答]
(し) 起電力の最大値がEに比べて無視できる場合、
両辺を2乗して整理すると、
∴ 
......[答]
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