京大物理'04年前期[1]
次の文を読んで、 には適した式を、{ }からは正しいものを選びその番号を、 には20～50字程度の適切な語句を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 は、すでに で与えられたものと同じものを表す。
質量を無視できる軽いひもの一端が原点Oに固定され、他端には、質量mの、大きさを無視できる小球がつけられている。ひもは自然長がlで、自然長より引き伸ばす引張りに対しては、フックの法則に従うばね定数kのばねのようにふるまうが、圧縮や曲げには全く抵抗しない。ここで、重力加速度をgとし、小球とひもの運動に対する空気の抵抗は無視できるものとする。また、原点Oから水平方向にx軸、鉛直上方にy軸をとり、y軸上の
の点をAとする。
(1) 図1のように、小球を静かにつるしたとき、小球は
－ ア において静止した。この位置を点Bとする。(2) 小球を点Aから静かに放したときの運動を考えよう。小球が到達する最下点は、{イ．①点Bより上である。②点Bに一致する。③点Bより下である。④これだけでは判断できない。}また、この場合の小球の運動は ウ である。(ウには、例えば「点Aから点Bにいたる等速直線運動」のような語句を記入せよ。)
(3) 次に、小球を原点Oから静かに放した場合を考えよう。小球が放されてから初めて
(ただし、
)に達したときの速度の大きさは エ で与えられる。また、小球が達する最下点は、点Bより距離 オ だけ下の位置である。 小球が初めて点Aに達してから次に点Aにもどってくるまでの所要時間
を調べてみよう。小球が初めて点Aに達してから初めて点Bに達するまでの間における速度の大きさの最小値は カ である。一方、小球が初めて点Bに達してから次に点Bにもどってくるまでの所要時間は キ である。したがって、所要時間
は、より小さい。
以上の結果より、ばね定数kが非常に大きい極限では、ひもの伸びの長さ、および、ひもが伸びている間の時間は、ともに非常に小さくなる。したがって、この場合の小球の運動は、点Aを通る水平な床に衝突し、反発係数(はねかえり係数)1ではねかえる場合の運動と同じであるとみなすことができる。 (4) 以下では、ばね定数kは十分大きくて、(3)の最後で述べた考え方が成り立っているものとする。
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解答 糸につながれた物体の運動について、糸がぴんと張る瞬間には、完全弾性衝突のように考えようという問題です。
(1)(ア) ばねの伸びをsとして、小球のy座標は
です。小球に働く力のつり合いより、 ∴ 
よって、小球を静かにつるしたとき、小球が静止する位置Bは、 
.....[答]
(2)(イ) 小球をAから静かに離すと、小球が到達する最下点は、
③ 点Bより下である。 .....[答]
(ウ) この場合の小球の運動は、
ABを振幅、Bを振動中心とする単振動 ......[答]になります(単振動参照)。
(3)(エ) 小球を原点Oから静かに離すとき、重力による位置エネルギーの基準を原点Oにとると、原点Oにおいて、重力による位置エネルギーは0，ひもはたるんでいるので弾性エネルギーも0，運動エネルギーも0です。位置
において、重力による位置エネルギーは
，ひもはs伸びているので弾性エネルギーは
，速さをvとして運動エネルギーは
です。 ∴ 
......[答] ･･･① (オ) 小球が到達する最下点では
となります。①において、
とすると、 整理すると、
∴ 
より、
小球が達する最下点は、点Bより距離
......[答] だけ下の位置。 (カ) ①の根号内を平方完成すると、
小球がAB間にいるとき、
より、この範囲において
は
のとき(小球がAに来たとき)に最小値
をとります。
よって速度の大きさの最小値は、
......[答] (キ) 小球はBを振動中心とする単振動を行う。単振動の周期は
で与えられるから、初めてBに達してから次にBに戻ってくるまでの所要時間は、単振動の半周期に等しく、
......[答]
小球の速さはAからBまで増大するので、AからBまでの所要時間は、距離
をAにおける速さ
で等速運動した場合に要する時間
よりも短いはずです。BからAに戻る時間についても、運動の対称性より、同様です。従って、初めてAに達してから次にAにもどってくるまでの所要時間
について、 となるはずです。
ここで
とすると、右辺は0に近づくので、
となります。
問題文に書いてあるように、ばね定数kが非常に大きい極限(ひもに柔軟性がなく非常に堅い)では、ひもの伸びの長さ、及び、ひもが伸びている時間は、ともに非常に短くなり、この場合の小球の運動を、反発係数1の衝突と同等に扱うことができます。
(4) 問題文の途中に
でなければならないと書いてありますが、右図(a)のように、初期位置Cが原点よりも上にある場合、ひもが伸びきったとき、つまり小球がDに来たとき、小球の速度ベクトルは
よりも傾きが大きく、
と同じ向きを向くことはありません。ということは、ODと垂直な面とDにおいて完全弾性衝突すると考えると、衝突後に進む方向は衝突前に進んできた方向と異なる方向です。これでは、問題文にあるような周期運動にはなり得ません。 従って、周期運動を行うのであれば、右図(b)のように、初期位置Cは原点よりも下側(つまり
)であって、Dにおける小球の速度ベクトルは
と同じ方向を向くはずです。Dにおいて、ODに垂直な面と完全弾性衝突する、と考えると、衝突後に進む方向は
方向であって、もと来た道筋をたどって初期位置に戻り、
における運動と対称な運動を
において行い、以後周期運動を続けることになります。
(ク) 
がx軸正方向となす角の大きさをθ とすると、D
なので、
です(
に注意)。 一方Dにおける速度ベクトル
の方向も
と同じ方向なので、
です(
に注意)。
以上より、
......[答] ･･･② (ケ) 小球は初期位置Cより、x軸方向には等速度運動(速度
)を行い、y軸方向には等加速度運動(加速度
，初速度0)を行います。 よって、
......[答] ･･･③ (コ) 
......[答] ･･･④ (サ) また、
，
，及び②より、 分母を払うと、
∴ 
......[答] ･･･⑤
この式からも、
が確認できます。また、④より、 
･･･⑥(シ) 
より、
③，⑤，⑥より、
整理すると、
これを解き、
となる解を選ぶと、 
......[答]
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(ただし、
)の点Cから、時刻
に、x軸の正の向きに初速度
(ただし、
)で投げた。ひもは、小球がある点Dに達したとき、初めて伸びきった。その後、小球はCD間の経路を逆にたどって点Cを通過し、点Eで再びひもが伸びきった後、CEの経路を逆にたどって点Cにもどり、以後これを繰り返して周期運動を続けた。この周期運動が実現するために必要な、
と
の間の関係を調べてみよう。まず、点Dに達する直前の小球の速度のx，y成分
と、点Dのx，y座標
の間には、
＝ ク の関係が成り立っていなければならない。また、小球が初めて点Dに達した時刻を
として、
，
を
，
，T，および重力加速度gを用いて表せば、
＝ ケ ，
＝ コ である。
，
も同様にして表すことにより、Tと
の間の関係、
＝ サ が得られる。したがって、
でなければならない。さらに、条件
を用いれば、
は初速度
の関数として決まり、
＝ シ となる。
