京都大学2010年物理入試問題
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[1] 次の文を読んで、 に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じ式を表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
図1に示すように、水平な床の上に質量Mの台車(全長
)が置かれている。台車には中央部に支柱によって支持された水平な棒が取り付けられている。その水平な棒の中央から大きさが無視できる質量mの小球(質点)が、長さhのひもでつるされている。支柱と棒とひもの質量は無視できる。小球は最下点(ひもと水平面とのなす角が
)で台車と滑らかに接する。台車と小球の間の摩擦は無視できる。以下では、小球は図1中のxy平面(鉛直平面)内で運動するものとする。台車は床と離れることなく、x方向に運動するものとする。台車には軽く薄い壁C (質量と厚さが無視できる)が取り付けられている。小球と壁Cのはね返り係数(反発係数)をeとする。重力加速度の大きさをgとする。
(1) はじめに、台車を床に固定する。このときに図2に示すように、小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げる。その後、静かに小球を離すと、小球はxy平面内を降下する。小球が最下点Bに到達する直前の小球の速さは ア であり、このときのひもの張力は イ である。小球が最下点Bに到達した瞬間にひもを切ると、小球は台車の上面を移動して壁Cに衝突してはね返り、台車の端Dに至る。なお、ひもを切るときには、小球は力積を受けないとする。最下点Bでひもを切った瞬間から小球が台車の端Dに到達するまでの時間は ウ である。
(2) つぎに、台車が床の上を摩擦なく移動できるようにする。このとき、はじめに台車を動かないように押さえて、図2に示すように、小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げる。その後、静かに台車と小球を同時に離すと、台車と小球が運動する。小球が点Aから最下点Bに到達する直前の小球の速さは エ であり、このときのひもの張力は オ である。小球が最下点Bに到達した瞬間にひもを切ると、小球は台車の上面を移動して壁Cに衝突してはね返り、台車の端Dに至る。なお、ひもを切るときには、小球および台車は力積を受けないとする。小球は最下点Bから壁Cに到達するまでの間、台車に対して相対的な速さ カ で運動する。小球が最下点Bから壁Cに到達するまでの時間は キ である。また、小球が壁Cに衝突してはね返ってから台車の端Dに到達するまでの時間は ク である。したがって、最下点Bでひもを切った瞬間から小球が台車の端Dに到達するまでの時間は、台車を固定したときの時間 ウ の ケ 倍となる。
問1 上記の(2)の状態(台車が床の上を摩擦なく移動できる状態)で、小球と台車をまとめて一つの系と呼ぶことにする。この系の重心(質量中心)は水平方向には動かない。この理由を50字以内で簡潔に説明せよ。
問2 上記の(2)の状態(台車が床の上を摩擦なく移動できる状態)で、台車を動かないように押さえて小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げ、台車と小球を同時に離した瞬間の台車の位置を基準点とすれば、小球が壁Cに衝突してはねかえって台車の端Dに至った瞬間に台車はどの位置にあるか。問1で述べたこと(系の重心が水平方向に動かないこと)を利用して、導出の過程も含めて解答せよ。なお、ひもの長さhは台車の全長の半分Lより短い(
)。 [解答へ]
[2] 以下の(1)と(2)の には適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じ式を表す。また、問1～問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
(1) 図1(a)に示すように、xyz空間に電場
が加えられている。この電場は、図1(b)に示すように、周期をTとして時間的に変化している。最初の半周期にはy軸の正の向きに大きさ
の電場が、次の半周期にはy軸の負の向きに大きさ
の電場が加えられる。加えられる電場は、空間的には一様である。質量がmで正の電荷qをもつ荷電粒子Pが、時刻tが
で原点(
)にある。この粒子Pは、y軸方向の電場によって加速度運動をするが、この運動のようすは
で粒子Pに与える初速度によって異なる。重力の影響は無視できるとする。
(1a) 
において粒子Pは原点に静止しているものとする。
のときには、粒子Pはy軸の正の向きに加速される。
での粒子Pの速度のy成分
と座標yはそれぞれ イ と ロ で表される。
のときには、粒子Pは、
での速度のy成分 イ と座標 ロ を初期値としてy軸の負の向きに加速される。
のとき、粒子Pの速度のy成分
を時刻tの関数として表すと ハ となる。そのときの粒子Pの座標yも時刻tの関数として表すことができる。それらの結果から、
(
)での粒子Pの速度のy成分は0であるが、粒子Pは時間の経過とともに原点から離れていくことがわかる。
問1 以上の結果をもとに、
における粒子Pの速度のy成分
を時刻tの関数としてグラフに示せ。グラフ中には
における速度のy成分
の値を記入せよ。また、
における粒子Pの座標yと時刻tとの関係を表す曲線の概要をグラフに示せ。ただし、グラフ中に
における座標yの値を記入する必要はない。
(1b) 
において、粒子Pの速度のx成分
とz成分
を
として、速度のy成分
を適切な値にすれば、時間が経過しても粒子Pが原点から遠く離れていかないようにすることができる。そのとき、
および
での粒子Pの座標yがともに
になり、また
での速度のy成分
が
のときと同じ値である。この条件は、
での粒子Pの速度のy成分
が ニ の場合に満たされる。このとき、
における粒子Pの速度のy成分
は－ ニ となる。 
のときには、粒子Pは
での速度と座標を初期値としてy軸の負の向きに加速される。
のときの粒子Pの速度のy成分
を時刻tの関数として表すと ホ となる。そのときの粒子Pの座標yも時刻tの関数として表すことができる。
問2 以上の結果をもとに、
における粒子Pの速度のy成分
を時刻tの関数としてグラフに示せ。グラフ中には
における速度のy成分
の値を記入せよ。また、
における粒子Pの座標yと時刻tとの関係を表す曲線の概要をグラフに示せ。ただし、グラフ中に
における座標yの値を記入する必要はない。
(2) 図2(a)に示すように、xyz空間に電場
または磁場
が加えられる。これらの電場と磁場は、図2(b)に示すように、周期をTとして時間的に変化している。最初の半周期にはy軸の正の向きに大きさ
の電場のみが、次の半周期にはz軸の正の向きに磁束密度の大きさ
の磁場のみが加えられる。加えられる電場や磁場は、空間的には一様である。質量がmで正の電荷qをもつ粒子Pが
で原点(
)にある。最初に、
のときの粒子Pの運動が(1b)の場合と同じになるように、
での粒子Pの速度のx成分
とz成分
を
として、速度のy成分
を ニ とする。
一方、
のときには、磁場の影響を受けて大きさが ヘ のローレンツ力が粒子Pに作用する。このため、粒子Pはxy平面内で円運動を始める。この円運動の中心はx軸上にあり、そのx座標は ト で与えられる。このとき、円運動の半径は磁束密度の大きさ
に応じて変化するが、
の間に粒子Pが運動する軌跡の長さは チ となり、磁束密度の大きさ
によらない。
いま、磁束密度の大きさ
を リ に選ぶと、粒子Pは、
の間にxy平面内で円軌道を半周した後、
において再び
のときと同じ速度のy成分
ニ と座標
をもつようにすることができる。このとき、粒子Pのx座標は ヌ となる。それ以降の
(
)のときには、粒子Pは、y軸方向には
のときと同じ運動を行い、x軸方向には原点から離れていく。
[解答へ]
[3] 次の文を読んで、 には適した式または数値を、{ }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じものを表す。また、問1～問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
図1に示すように、一端に振動板(スピーカー)を取り付けた円筒形の透明な容器に、ふたをして空気を密閉し、水平に置いた。ふたは、容器内の気圧が外気圧と等しくなるように水平方向(図1のx軸方向)に動くが、音波によって振動することはないとする。また、この容器の内壁には、はじめ、軽い粉が水平方向に一様に薄く置かれている。容器内の空気は理想気体であるとする。
まず、容器内の空気の絶対温度を
にした。このとき、気柱の長さ(振動板からふたまでの距離)が
になった。この状態で、振動板から単一振動数の音を発し、その振動数を変化させていったところ、振動数がfのとき、図1に示すように容器内の3ヶ所(うち1ヶ所は振動板近傍)に等間隔に粉が集まり、気柱が共鳴を起こしていることがわかった。なお、図1のx軸は、気柱の左端を原点(
)とした気柱の水平方向の座標軸であり、目盛りは
の間隔で付けてある。
問1 粉の集まりの中心の位置(振動板の近傍の集まりについては、振動板の位置
)は、3ヶ所とも共鳴の定常波の腹の位置である可能性と、3ヶ所とも節の位置である可能性がある。また、この気柱の右端のふたは固定端であると考えてよいとする。気柱に生じた定常波による、ある時刻における各xでの空気の変位yを、解答用紙のグラフに記入せよ。なお、グラフ中の破線は、その時刻における腹の位置での空気の変位を示す。空気の変位yはx軸の正の向きを正とする。
気柱の共鳴音波の波長
および気柱内の音速
は、
とfを用いて、それぞれ
あ ，
い と表される。なお、この気柱が共鳴を起こす最も低い振動数はfを用いて う と表される。
気柱に定常波がある場合の、気柱の各点での空気の変位と空気の密度との間の関係を考えよう。定常波がない場合に、位置xと
(
は正の微小量)の間の筒状の領域を筒領域Ⅰと呼ぶ(図2参照)。定常波がある場合に、位置xにおける空気の変位をy，位置
における空気の変位を
とすると、筒領域Ⅰ内にあった空気は位置 え と お の間の筒領域Ⅱに移動する。したがって、この2つの筒領域の空気の密度の比は、
を用いて
か
問2 問1のグラフのx軸上に、問1で考えた時刻における空気の密度が最大となる位置のすべてに○印を、空気の密度が最小となるすべてに×印を記入せよ。ただし、気柱の端点は除く。
次に、振動数fの音を振動板から発しながら、この容器内の空気の絶対温度を
から上げていくと、容器のふたが水平方向に動いていき、気柱の長さが
になった。このとき、気柱に再び共鳴が起こり、こんどは容器内の4ヶ所(うち1ヶ所は振動板近傍)に等間隔に粉が集まった。このときの、気柱の共鳴音波の波長
は、
を用いて
く と表される。また、容器内の空気の絶対温度
を
，
，
を用いて表すと
け である。
仮に、空気中の音速が温度によらず一定であれば、2つの波長
と
は等しいので、
こ (数値)であり、絶対温度
は
を用いて
さ と表される。
しかし、実際には、空気中の音速は温度によって変化し、絶対温度Tにおける音速Vは
･･････(1)
およびbは正の定数である。温度が高くなると音速は大きくなるので、比
は、音速が一定の場合の値 こ {し：① より大きくなる ② と同じである ③ より小さくなる}。
[解答へ]
各問検討
[1](解答はこちら) 力学的エネルギー保存、運動量保存に、衝突、円運動、相対運動をからめた問題ですが、この問題のポイントは、運動している物体上の円運動をどう扱うか、という点にあります。
(1)では、台車が固定されていて、小球が円運動するだけなので、不等速円運動の基本パターンです。
(2)になると、ひもにつるされた小球が落下運動を始めると台車が動いてしまうので、床から見ていると、小球の運動は円運動になりません。この状況のまま、小球の運動を考えようとすれば難しいことになるでしょう。ですが、設問(カ)で「相対的な速さ」を聞いているので、相対運動を意識して台車から小球の運動を見ることになります。台車上で見ると、小球はやはり円運動していて、(1)と同じように扱うことができます。但し、力学的エネルギー保存と運動量保存は床から見て考えます。
小球、台車の位置を考えるときには、系の運動量が保存されることと、最初に小球、台車とも静止していたことから、重心が動かないことを利用するのが便利です。これを促すために、本問では、問1が設けられています。問1のような誘導がなくても、重心に着目して考えるべきです。
誘導なしでは厳しい問題ですが、誘導に乗って考えて行けば決して難しくはありません。教科書レベルの知識で充分に解き進むことができます。また、誘導がない問題であっても、本問と同様に解くようにしてください。
[2](解答はこちら) 電磁場中の荷電粒子の運動に等加速度運動、等速度円運動をからめた問題です。扱う範囲は広いのですが、問題を解くのに必要な知識は、各問、教科書レベルの内容です。基礎がしっかりできていれば、満点も狙えます。本問では高級な技巧は必要ありません。難しいことはできなくてもよいから、高校物理の基礎を固めてきて欲しい、という京都大学の先生の受験生に対するメッセージが感じられる問題です。
ただし、等加速度運動の部分の計算が煩雑なことには注意が必要です。速度のy成分が要求されていても、問1，問2で、座標yの値が要求されているわけではないので、計算をしなくても、荷電粒子の運動のイメージがつかめて欲しい、ということは言えます。この辺は、等加速度運動といえど、教科書傍用問題集程度の問題を一通り解いておくくらいの勉強量が要求されています。
(2)の運動を勘違いし易いのですが、こうしたところは、物理の問題と言うよりも、目の前の状況を正確に扱うことができるか、という、処理能力が求められている、と言えます。勉強に限らず、日常的な課題についても、合理的に効率的に処理する心がけを持つようにしましょう。
[3](解答はこちら) クントの実験の問題が、本問、東大10年[3]と出題されています。ですが、両者で扱い方に違いがあります。
気柱内で、粉や微粒子の集まりの中心の位置は腹なので、問題文の図1を見ると、振動板のところは腹になります。ですが、インターネット上で紹介されているクントの実験の様子を見ると、振動板位置は節です。東大の問題でも固定端で節です。ですが、本問では、問題文で指定されているので、振動板位置は自由端で腹、という状況設定で考えることになります。
今後、クントの実験が入試問題で採り上げられるときには、振動板の位置が固定端なのか自由端なのか明示されていないと受験生はどうしてよいのかわからない、ということになるような気がします。
また、本問では、気柱内の空気の密度の扱い方が従来と異なっています。密度の大小は、気柱内の各空気粒子が、左に変位しているか、右に変位しているか、というところから考えるのが普通です。ある地点で、左側の粒子が右に変位し右側の粒子が左に変位していれば、その地点の密度は最大になります。ですが、本問では、定常波ができている場合とできていない場合とで筒領域内の空気の密度を比較する、という考え方が提示されています。問題文中の密度比の式では、グラフ曲線の接線の傾き
が正にも負にもなるので、注意が必要です。物理の入試問題と言っても、数学の微積分で履修した内容を活用して考えるようにしましょう。
本問の解答に必要な知識は教科書レベルで充分ですが、問題文の指摘に合わせて、柔軟に考察を進めて行く必要があります。
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各問題の著作権は
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における粒子Pのxy平面内での運動の軌跡を描け。軌跡には、粒子Pの進む向きを示す矢印を付けよ。また、粒子Pの
におけるy座標と
におけるx座標の値を記入せよ。
，
，
のみを用いて、式(1)の定数
とbを表せ。ただし、導出の過程も示せ。