京大物理'10年[1]

京大物理'10年[1]

次の文を読んで、　　に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じ式を表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

図1に示すように、水平な床の上に質量Mの台車(全長

)が置かれている。台車には中央部に支柱によって支持された水平な棒が取り付けられている。その水平な棒の中央から大きさが無視できる質量mの小球(質点)が、長さhのひもでつるされている。支柱と棒とひもの質量は無視できる。小球は最下点(ひもと水平面とのなす角が

)で台車と滑らかに接する。台車と小球の間の摩擦は無視できる。以下では、小球は図1中のxy平面(鉛直平面)内で運動するものとする。台車は床と離れることなく、x方向に運動するものとする。台車には軽く薄い壁C (質量と厚さが無視できる)が取り付けられている。小球と壁Cのはね返り係数(反発係数)をeとする。重力加速度の大きさをgとする。

(1) はじめに、台車を床に固定する。このときに図2に示すように、小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げる。その後、静かに小球を離すと、小球はxy平面内を降下する。小球が最下点Bに到達する直前の小球の速さは　ア　であり、このときのひもの張力は　イ　である。小球が最下点Bに到達した瞬間にひもを切ると、小球は台車の上面を移動して壁Cに衝突してはね返り、台車の端Dに至る。なお、ひもを切るときには、小球は力積を受けないとする。最下点Bでひもを切った瞬間から小球が台車の端Dに到達するまでの時間は　ウ　である。

(2) つぎに、台車が床の上を摩擦なく移動できるようにする。このとき、はじめに台車を動かないように押さえて、図2に示すように、小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げる。その後、静かに台車と小球を同時に離すと、台車と小球が運動する。小球が点Aから最下点Bに到達する直前の小球の速さは　エ　であり、このときのひもの張力は　オ　である。小球が最下点Bに到達した瞬間にひもを切ると、小球は台車の上面を移動して壁Cに衝突してはね返り、台車の端Dに至る。なお、ひもを切るときには、小球および台車は力積を受けないとする。小球は最下点Bから壁Cに到達するまでの間、台車に対して相対的な速さ　カ　で運動する。小球が最下点Bから壁Cに到達するまでの時間は　キ　である。また、小球が壁Cに衝突してはね返ってから台車の端Dに到達するまでの時間は　ク　である。したがって、最下点Bでひもを切った瞬間から小球が台車の端Dに到達するまでの時間は、台車を固定したときの時間　ウ　の　ケ　倍となる。

問1　上記の(2)の状態(台車が床の上を摩擦なく移動できる状態)で、小球と台車をまとめて一つの系と呼ぶことにする。この系の重心(質量中心)は水平方向には動かない。この理由を50字以内で簡潔に説明せよ。

問2　上記の(2)の状態(台車が床の上を摩擦なく移動できる状態)で、台車を動かないように押さえて小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げ、台車と小球を同時に離した瞬間の台車の位置を基準点とすれば、小球が壁Cに衝突してはねかえって台車の端Dに至った瞬間に台車はどの位置にあるか。問1で述べたこと(系の重心が水平方向に動かないこと)を利用して、導出の過程も含めて解答せよ。なお、ひもの長さhは台車の全長の半分Lより短い(