京大物理'10年[3]
次の文を読んで、 には適した式または数値を、{ }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じものを表す。また、問1～問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
図1に示すように、一端に振動板(スピーカー)を取り付けた円筒形の透明な容器に、ふたをして空気を密閉し、水平に置いた。ふたは、容器内の気圧が外気圧と等しくなるように水平方向(図1のx軸方向)に動くが、音波によって振動することはないとする。また、この容器の内壁には、はじめ、軽い粉が水平方向に一様に薄く置かれている。容器内の空気は理想気体であるとする。
まず、容器内の空気の絶対温度を
にした。このとき、気柱の長さ(振動板からふたまでの距離)が
になった。この状態で、振動板から単一振動数の音を発し、その振動数を変化させていったところ、振動数がfのとき、図1に示すように容器内の3ヶ所(うち1ヶ所は振動板近傍)に等間隔に粉が集まり、気柱が共鳴を起こしていることがわかった。なお、図1のx軸は、気柱の左端を原点(
)とした気柱の水平方向の座標軸であり、目盛りは
の間隔で付けてある。
問1 粉の集まりの中心の位置(振動板の近傍の集まりについては、振動板の位置
)は、3ヶ所とも共鳴の定常波の腹の位置である可能性と、3ヶ所とも節の位置である可能性がある。また、この気柱の右端のふたは固定端であると考えてよいとする。気柱に生じた定常波による、ある時刻における各xでの空気の変位yを、解答用紙のグラフに記入せよ。なお、グラフ中の破線は、その時刻における腹の位置での空気の変位を示す。空気の変位yはx軸の正の向きを正とする。
気柱の共鳴音波の波長
および気柱内の音速
は、
とfを用いて、それぞれ
あ ，
い と表される。なお、この気柱が共鳴を起こす最も低い振動数はfを用いて う と表される。
気柱に定常波がある場合の、気柱の各点での空気の変位と空気の密度との間の関係を考えよう。定常波がない場合に、位置xと
(
は正の微小量)の間の筒状の領域を筒領域Ⅰと呼ぶ(図2参照)。定常波がある場合に、位置xにおける空気の変位をy，位置
における空気の変位を
とすると、筒領域Ⅰ内にあった空気は位置 え と お の間の筒領域Ⅱに移動する。したがって、この2つの筒領域の空気の密度の比は、
を用いて
か
問2 問1のグラフのx軸上に、問1で考えた時刻における空気の密度が最大となる位置のすべてに○印を、空気の密度が最小となるすべてに×印を記入せよ。ただし、気柱の端点は除く。
次に、振動数fの音を振動板から発しながら、この容器内の空気の絶対温度を
から上げていくと、容器のふたが水平方向に動いていき、気柱の長さが
になった。このとき、気柱に再び共鳴が起こり、こんどは容器内の4ヶ所(うち1ヶ所は振動板近傍)に等間隔に粉が集まった。このときの、気柱の共鳴音波の波長
は、
を用いて
く と表される。また、容器内の空気の絶対温度
を
，
，
を用いて表すと
け である。
仮に、空気中の音速が温度によらず一定であれば、2つの波長
と
は等しいので、
こ (数値)であり、絶対温度
は
を用いて
さ と表される。
しかし、実際には、空気中の音速は温度によって変化し、絶対温度Tにおける音速Vは
･･････(1)
およびbは正の定数である。温度が高くなると音速は大きくなるので、比
は、音速が一定の場合の値 こ {し：① より大きくなる ② と同じである ③ より小さくなる}。
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解答 東大10年[3]と同じく、クントの実験の問題です。節・腹の考え方は、問1の問題文中で指定されています。この指定に即して考えます。
問1 粉の集まりの位置3ヶ所が腹になります。ふたの位置(固定端)と腹と腹の中間点で節になります。ある時刻における各xでの空気の変位yのグラフは右図のようになります。
注．右図とx軸に関して対称なグラフでもOKです。ただし、問2の答が違ってきます。
(あ) 気柱の長さ
は波長の
倍に相当します。つまり、
，よって、 
......[答]
......[答](う) 共鳴を起こす最も低い振動数
とは、基本振動数のことです。基本振動では、右端が固定端で節、左端が腹になるので、波長を
は
より、 ∴ 
......[答] (え) 位置xにあった空気分子は、位置xからx軸正方向にyだけ変位しているので、
......[答](お) 位置
にあった空気分子は、位置
からx軸正方向に
だけ変位しているので、 
......[答](か) 筒領域Ⅰ内にあった空気の質量をmとして、定常波がないときの筒領域Ⅰの体積は
なので、その密度は
定常波があるときの筒領域Ⅱの体積は
なので、その密度は
......[答](き) (か)の結果より、空気の密度が最小になる位置は、
が最大になる位置です。つまり、問1のグラフの接線の傾きが最大になる位置です。 ③ ......[答]
問2 空気の密度が最大となる位置は、
が最小になる位置で、問1のグラフの接線の傾きが負であってかつその絶対値が最大となる位置です。空気の密度が最小になる位置は、グラフの接線の傾きが正であってかつ最大となる位置です。よって、空気の密度が最大・最小になる位置は右図の○と×。注．問1で右図を反転させたグラフを描いた場合には、○と×の位置が入れ替わります。
(く) 絶対温度が
になったとき、振動板位置を含めて4ヶ所が腹、ふたの位置が節なので、気柱の長さ
は
に相当し、 
......[答]∴ 
......[答] (こ) (く)の結果より、絶対温度が
のときの音速
は、 
のとき
なので、(あ)(く)の結果を用いて、∴ 
......[答] (さ) (け)(こ)の結果より、
......[答]∴ 
① ......[答]
問3 (1)式で
のとき
より、 
･･･(2)(1)式で
のとき
より、 
･･･(3)(2)－(3)より、
∴ 
......[答]
(2)に代入すると、 
......[答]
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のみを用いて、式(1)の定数
とbを表せ。ただし、導出の過程も示せ。
のときに
となるのであれば、
であり、
から
に変化するまでの間、ふたに働く