京大物理'10年[2]
以下の(1)と(2)の には適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じ式を表す。また、問1～問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
(1) 図1(a)に示すように、xyz空間に電場
が加えられている。この電場は、図1(b)に示すように、周期をTとして時間的に変化している。最初の半周期にはy軸の正の向きに大きさ
の電場が、次の半周期にはy軸の負の向きに大きさ
の電場が加えられる。加えられる電場は、空間的には一様である。質量がmで正の電荷qをもつ荷電粒子Pが、時刻tが
で原点(
)にある。この粒子Pは、y軸方向の電場によって加速度運動をするが、この運動のようすは
で粒子Pに与える初速度によって異なる。重力の影響は無視できるとする。
(1a) 
において粒子Pは原点に静止しているものとする。
のときには、粒子Pはy軸の正の向きに加速される。
での粒子Pの速度のy成分
と座標yはそれぞれ イ と ロ で表される。
のときには、粒子Pは、
での速度のy成分 イ と座標 ロ を初期値としてy軸の負の向きに加速される。
のとき、粒子Pの速度のy成分
を時刻tの関数として表すと ハ となる。そのときの粒子Pの座標yも時刻tの関数として表すことができる。それらの結果から、
(
)での粒子Pの速度のy成分は0であるが、粒子Pは時間の経過とともに原点から離れていくことがわかる。
問1 以上の結果をもとに、
における粒子Pの速度のy成分
を時刻tの関数としてグラフに示せ。グラフ中には
における速度のy成分
の値を記入せよ。また、
における粒子Pの座標yと時刻tとの関係を表す曲線の概要をグラフに示せ。ただし、グラフ中に
における座標yの値を記入する必要はない。
(1b) 
において、粒子Pの速度のx成分
とz成分
を
として、速度のy成分
を適切な値にすれば、時間が経過しても粒子Pが原点から遠く離れていかないようにすることができる。そのとき、
および
での粒子Pの座標yがともに
になり、また
での速度のy成分
が
のときと同じ値である。この条件は、
での粒子Pの速度のy成分
が ニ の場合に満たされる。このとき、
における粒子Pの速度のy成分
は－ ニ となる。 
のときには、粒子Pは
での速度と座標を初期値としてy軸の負の向きに加速される。
のときの粒子Pの速度のy成分
を時刻tの関数として表すと ホ となる。そのときの粒子Pの座標yも時刻tの関数として表すことができる。
問2 以上の結果をもとに、
における粒子Pの速度のy成分
を時刻tの関数としてグラフに示せ。グラフ中には
における速度のy成分
の値を記入せよ。また、
における粒子Pの座標yと時刻tとの関係を表す曲線の概要をグラフに示せ。ただし、グラフ中に
における座標yの値を記入する必要はない。
(2) 図2(a)に示すように、xyz空間に電場
または磁場
が加えられる。これらの電場と磁場は、図2(b)に示すように、周期をTとして時間的に変化している。最初の半周期にはy軸の正の向きに大きさ
の電場のみが、次の半周期にはz軸の正の向きに磁束密度の大きさ
の磁場のみが加えられる。加えられる電場や磁場は、空間的には一様である。質量がmで正の電荷qをもつ粒子Pが
で原点(
)にある。最初に、
のときの粒子Pの運動が(1b)の場合と同じになるように、
での粒子Pの速度のx成分
とz成分
を
として、速度のy成分
を ニ とする。
一方、
のときには、磁場の影響を受けて大きさが ヘ のローレンツ力が粒子Pに作用する。このため、粒子Pはxy平面内で円運動を始める。この円運動の中心はx軸上にあり、そのx座標は ト で与えられる。このとき、円運動の半径は磁束密度の大きさ
に応じて変化するが、
の間に粒子Pが運動する軌跡の長さは チ となり、磁束密度の大きさ
によらない。
いま、磁束密度の大きさ
を リ に選ぶと、粒子Pは、
の間にxy平面内で円軌道を半周した後、
において再び
のときと同じ速度のy成分
ニ と座標
をもつようにすることができる。このとき、粒子Pのx座標は ヌ となる。それ以降の
(
)のときには、粒子Pは、y軸方向には
のときと同じ運動を行い、x軸方向には原点から離れていく。
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解答 電磁気の基本と、等加速度運動、円運動との融合問題です。以下の問1，問2では、速度のy成分
だけでなくy座標についても計算式を求めた上でグラフを書いていますが、実戦的には、計算なしで感覚的にグラフを描きたいところです。
細かいことですが、問2問題文中の「グラフ中に
における座標yの値を記入する必要はない。」の
は、問題文中で
と指定されているので、
の間違いではないかと思われます。
(リ)が何をすれば良いのか、少々悩むかも知れません。円運動の半周の長さ(チ)が2通りに表されることを利用します。
(1)(1a)(イ)
において、 y軸正方向の電場
は電荷qをもつ粒子Pに、y軸正方向に大きさ
の力を及ぼします(電界を参照)。粒子Pの加速度をaとして、運動方程式： ∴ 
(よって、粒子Pの運動は等加速度運動)等加速度運動の公式より、
における粒子Pの速度のy成分
は、 
......[答]
において、速度のy成分
を時刻tの関数として表すと、
･･･①y座標を時刻tの関数として表すと、
･･･②
(ロ) ②より、
における粒子のy座標
は、 
......[答]
(ハ) 
においては、電場の向きが逆になり、加速度が
となるので、粒子Pの時刻tにおける速度のy成分
は、 
......[答] ･･･③時刻tにおけるy座標は、
問1 
における
-t グラフは、
と
を結ぶ線分です。
における
-t グラフは、
，
を結ぶ線分です。以後、
(
)における
-tのグラフは、
におけるグラフの繰り返しになります。
におけるy-t グラフは、
を頂点とする下に凸な放物線、
におけるy-t グラフは、
を頂点とする上に凸な放物線です。以後、
におけるy-t グラフは、
におけるグラフを平行移動したグラフになります。
における両グラフを図示すると、右図実線。(1b)(ニ) 
における速度のy成分を
として、時刻t (
)におけるy座標は、
におけるy座標が
になるとして、∴ 
......[答]
において、
となるので、このとき、
における粒子Pの速度のy成分
について、 より、
におけるy座標
も、問題文にあるように、 となります。
(ホ) 
における速度のy成分
は、加速度が
となるので、 
......[答]
問2 
における速度のy成分が
になると、
における
-t グラフは、問1の
-t グラフを
軸負方向に
だけ平行移動したグラフになります。また、以後、
(
)におけるy-t グラフは、
におけるグラフの繰り返しになります。
における両グラフを図示すると、右図実線。
......[答]
(ト) 粒子には中心方向のローレンツ力のみ働き、円の接線の方向には力が働かないので、粒子の運動は等速円運動です。円運動の半径をrとして、粒子の運動方程式は、 ∴ 
円運動の中心のx座標はrに等しく、
......[答]
(チ) 一定の速さ
で時間
運動するので、軌跡の長さは、 
......[答]
(リ) 時間
で粒子が半周するので(チ)の結果は
に等しく、 ∴ 
......[答]
(ヌ) 円軌道を半周して
となったときのx座標は、 
......[答]
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における粒子Pのxy平面内での運動の軌跡を描け。軌跡には、粒子Pの進む向きを示す矢印を付けよ。また、粒子Pの
におけるy座標と
におけるx座標の値を記入せよ。
･･･④
において、
，
です。
(
)
(
)
問3 
なので、
において、粒子は、原点から一旦y軸の負側に移動し、
で反転して時刻
に原点に戻り、
においては、
を中心とし半径
の円周の
の部分を半周し、時刻
に
に到達します。以後、x軸方向に原点から離れて行きながら、y軸方向には
における運動を繰り返します。時刻
におけるy座標は
です。軌跡は右図実線。