京大物理'11年[1]
次の文を読んで、 に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
図1に示すように、十分広いフロントガラス面上を面に沿って回転せずに水平方向(図1の矢印⇒の方向)に移動する質量Mのワイパーに関して、以下の問いに答えよ。
フロントガラスは平面で、水平面と角度β をなすものとする。ワイパーは、重力に加えてフロントガラス面に対して垂直方向に
の力を受け、フロントガラス面に押しつけられている。ワイパーは、時刻0に位置Aにおける静止状態から矢印⇒の方向に動き始め、時間とともに速度を増し、時刻
において速度
となった後、一定速度
で運動を続ける。時刻
より速度を減じ、しばらくして停止する。ワイパーとフロントガラスとの間の静止摩擦係数および動摩擦係数をそれぞれμ，
(
)，重力の加速度をgとし、水膜の有無による摩擦係数の違いおよび空気の抵抗は無いものとする。
(1) まず、水膜がない状況でワイパーを動かした場合について考える。
(1−2) 時刻0から
と時刻
から
の間で、それぞれ一定の加速度が得られるように、ワイパーに種々の水平方向の力を加えた。その結果、図2の折線a，b，c，dの動きは実現したが、時刻
における速度が
より小なる動きは実現しなかった。問1 折線dの時刻0から
の間の傾き
が満たすべき条件を、その導出過程とともに示せ。 問2 時刻
にて速度
が実現する図2の運動a，b，c，dの中で、時刻0から
までに水平方向の力のワイパーにする仕事が最小となる運動を選ぶとともに、最小となる理由を記せ。
(2) 次に、フロントガラス面上に降雨があり、雨が止んだ後にフロントガラス面上に一様な厚さの水膜が形成された場合について考える。
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解答 基礎事項を問う易問も、問題文の表現のまずさから(出題者が意図的にそうしているのかも知れませんが)難問になってしまう(物理的に難問というわけではありません)という例です。不明確な問題文で空所補充形式、というのでは、どういう採点をしているのかと思ってしまいます。なぜ、こんなワイパーなどで設問するのかという点についても意図をつかみかねます。
(1) 図1矢印⇒方向(水平方向)にワイパーに加えた力を
とすると、ワイパーに働く力は、
及び、フロントガラス面に垂直に働く力
，ガラス面から受ける垂直抗力N，鉛直下向きの重力
，⇒と逆向きの動摩擦力
です。 このうち、フロントガラス面に垂直な方向に働く力は、図1で左下向きの
，左上向きのN，重力のこの方向の成分
(左下向き)です。この方向では力のつり合いが成立しています。 
∴ 
(ア) 時間
の間の速度変化が
なので、ワイパーの加速度は、
......[答] (イ) 水平方向に働く力は、矢印⇒方向の
，矢印⇒と逆向きの動摩擦力
です。 ワイパーの運動方程式：
ワイパーに加えた力は、
......[答] (ウ) 時刻0から
の間にワイパーが移動した距離は、図2で
の部分に運動cを示す直線が作る三角形の面積として、
です(変位・速度・加速度を参照)。 ワイパーの最初の運動エネルギーは0，時刻
でのワイパーの運動エネルギーは
，この間に動摩擦力がした仕事は
，時刻0から
の間にワイパーを動かすのに要した仕事(力
がした仕事)をWとして、エネルギーの原理より、 ∴ 
......[答] (エ) 時刻
以降では、力
がなくなり、停止するまでに移動した距離をsとして、ワイパーの運動エネルギーが
から0になり、この間に動摩擦力がした仕事は
です。エネルギーの原理より、 ∴ 
......[答] 
∴ 
......[答]問1 問題文の「時刻
における速度が
より小なる動きは実現しなかった」という記述の意味するところですが、ワイパーの運動に何らかの制約があって、時刻
における速度vが、
となるということです。この制約は何かを考えることになります。 
においては、ワイパーに水平方向に一定の力
が働き、ワイパーは等加速度運動をします。ここには、速度に制約を与えるような条件はありません。従って、制約ができるとすれば、時刻
の動き出す時点です。最初ワイパーの速度は0で停止していたので、
までワイパーに働いていた摩擦力は静止摩擦力であり、力
を加えてワイパーが動き出すためには、
が最大静止摩擦力を上回る必要があります。よって、時刻
におけるワイパーの速度をvとして、
における運動方程式：
よって、
∴ 
以上よりvの下限値
について、 
......[答]追記．問題文に「時刻
における速度が
より小なる動きは実現しなかった」と書かれているので、上記のように解答しましたが、「傾き
が満たすべき条件」という言い方からして、出題者は、 という答え方を想定しているような気がします。
問2 (ウ)と同様にして、水平方向の力のワイパーにする仕事を
，ワイパーの移動距離を
として、エネルギー原理の式を立てると、 ∴ 
従って、移動距離
が最も小さい運動で
が最小となります。ワイパーの移動距離は図2のv-tグラフとt軸の間で挟まれる部分の面積なので、
が最小となる運動はv-tグラフが最も下を通るd ......[答]理由．運動エネルギーの変化はどの運動も等しい。運動dが移動距離最小で動摩擦力に抗してする仕事が最小だから。 ......[答]
(2)(カ) 時刻t (
)における加速度は
で一定です。時刻t におけるワイパー＋雨水の質量は
で、ワイパーが受ける重力の大きさは
となり、ワイパーが受ける動摩擦力の大きさは
となります。ワイパーに加えるべき水平方向の力を
として、ワイパーの水平方向の運動方程式は、 ∴ 
......[答] (キ) 時刻t における運動量は
，時刻
における運動量は
です。運動量の増加は、 
......[答](ク) 動摩擦力の大きさは
，ワイパーに作用する水平方向の合力が
なので、ワイパーに加えるべき水平方向の力を
として、力のつり合いより、 ∴ 
......[答]
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の間にワイパーに一定の力を水平方向(図1の矢印⇒の方向)に加えたところ、時刻0から
の間にワイパーの速度は0から
まで増加した。このとき、ワイパーの加速度は ア となり、加えた力は イ で与えられる。時刻0から
の間にワイパーを動かすのに要した仕事は ウ となる。ワイパーの速度は時刻
に
に達し、その後
から
の間は一定値
となるように力が加えられる。時刻
からワイパーに加えていた水平方向の力を0としたところ、ワイパーは距離 エ 進み、時刻 オ に停止した。
)の間にワイパーが通過する距離をsとすると、ワイパーが集める雨水の質量は
となるので、時刻tにおいてワイパーに加えるべき水平方向の力は カ となる。
から
までは一定速度
で運動する。このとき、時刻t (
)において加えるべき水平方向の力を求める。時刻tにおけるワイパーと雨水を合わせた質量と速度は、時刻
における付着水量を
で表すと、それぞれ
および
となり、
時間後の時刻
におけるワイパーと雨水を合わせた運動量の増加は、 キ ×
となる。ワイパーに作用する水平方向の合力は キ で一定となり、時刻tにおいて加えるべき水平方向の力は ク となる。
として、