京大物理'12年[1]
次の文を読んで、 に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じ式を表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
質量
，
，
，半径
，
，
の円盤状の物体1，物体2，物体3の運動を考える。図1のように、物体1は水平な床の上に置かれている。物体1の上面は床に平行で、物体1の上に物体2が置かれている。物体1と物体2は互いに固定されておらず、各々の中心がx座標の原点で静止している。時刻0において物体3が左から物体1に衝突した。衝突後、物体1が動き出し、物体2は物体1との接触面上を滑り出した。衝突にかかる時間は十分短く、物体3が物体1に衝突した直後の物体2の床に対する速度は0であるとする。真上から見ると、物体1，物体2，物体3の中心は常に同一直線上にあるものとする。物体1と床の間の動摩擦係数を
，物体1と物体2の間の動摩擦係数
，物体1と物体3の間の跳ね返り係数をe，重力加速度をgとする。
位置、速度、加速度は右向きを正にとり、速度および加速度は床に対するものと定義する。また、空気抵抗は無視する。
(1) 物体3が物体1に衝突する直前の物体3の速度を
とする。物体3が物体1に衝突した直後の物体1の速度は
ア ，物体3の速度は イ である。物体2は物体1の上面からはみ出すことなく運動し、時刻
において物体1と物体2の相対速度が0となった。その後、両者は一体となって運動を続け、時刻
において静止した。時刻0から
までの物体1と物体2の加速度を
，
とし、
から
までの物体1の加速度を
，
での物体1の速度を
とする。また時刻
での物体1と物体2の中心の位置を
，
とし、
での物体1の中心の位置を
とする。
，
，
は、
，
，
，
，gのうち必要なものを用いると、
ウ ，
エ ，
オ と表せる。 
問1 図2を解答欄に書き写して、時刻0から
までの物体1，物体2の速度、加速度のグラフを描け。ただし、物体1と物体2のグラフは1つのグラフにまとめて作成し、(a)には横軸が時刻、縦軸が速度のグラフを、(b)には横軸が時刻、縦軸が加速度のグラフを描け。またグラフ中に、
，
，
，v，
，
，
を明示せよ。
および
は
，
，vを用いると、
カ ，
キ と表せる。また
は
，
，
，vのうち必要なものを用いると、
ク と表せる。さらに、
ウ ，
エ ，
オ を
カ ，
ク に代入することで、
，
は、v，
，
，
，
，gのうち必要なものを用いると、
ケ ，
コ と表せる。
「物体2は物体1の上面からはみ出すことなく運動」するという条件は、
，
およびv，
，
，
，
，gのうち必要なものを用いると、 サ と表せる。また
は、v，
，
，
，
，gのうち必要なものを用いると、
シ と表せる。
(2) 物体1と物体2の運動をエネルギー保存の観点から考える。物体3が物体1に衝突した直後の物体1と物体2の運動エネルギーの総和は、v，
，
，
，
，gのうち必要なものを用いると、 ス と表せる。一方、時刻0から
までに、物体1と床の間の摩擦で失われるエネルギー
，および物体1と物体2の間の摩擦で失われるエネルギー
は、
，
，
，
，g，
，
，
のうち必要なものを用いると、
セ ，
ソ と表せる。上で求めた
は、物体3が物体1に衝突した直後の物体1と物体2の運動エネルギーの総和 ス と
セ ，
ソ の間に成り立つ関係を利用することでも求めることができる。
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解答 (シ)は、工夫しないと計算が膨大になります。最初、物体3と物体1が衝突したとき、物体1と物体2は固定されていないので、動き出すのは物体1だけであることに注意してください。
･･･①
･･･②これを①に代入して、
∴ 
......[答] (イ) (ア)を②に代入して、
......[答](ウ) 
において、物体1に働く力は、物体1が物体2に及ぼす左向きの摩擦力
，床が物体1に及ぼす左向きの摩擦力
です。物体1の運動方程式は、 ∴ 
･･･③
......[答] (エ) 
において、物体2に働く力は、物体2が及ぼす右向きの摩擦力
です。物体2の運動方程式は、 ∴ 
･･･④
......[答] (オ) 
においては、物体1と物体2は一体になって運動します。これに働く力は、床からの左向きの摩擦力
です。物体1＋物体2の運動方程式は、 ∴ 
･･･⑤
......[答]
問1 物体2は、
において速度0ですが、正の加速度により次第に速度が大きくなり、
で物体1の速度と一致し、以後
においては、物体1＋物体2で一体で運動します。グラフは、右図。
∴ 
......[答] (キ) 
における物体1の速度
は、 
･･･⑥
......[答](ク) 
において、物体1＋物体2の速度が0になるので、(カ)と等加速度運動の公式より、 
......[答](ケ) ③，④を用いて、
･･･⑦よって、
......[答](コ) 
より、 
......[答](サ) 
において、物体1から見た物体2の相対加速度は
です。
から
までで、相対速度は、
から0まで変化します。この間に物体2が物体1に対してdだけ移動するとして、等加速度運動の公式より、 ∴ 
「物体2は物体1の上面からはみ出すことなく運動」するという条件は、
∴ 
......[答] (シ) 時刻
での物体1の中心の位置
は、問1(a)の物体1のv－tグラフの
の部分とv軸，t 軸で囲まれる部分の面積になりますが、これを黄色着色部
と黄緑色着色部
に分けて考えると、 
......[答]
(2)(ス) 衝突直後に、物体2は静止しているので、物体1と物体2の運動エネルギーの総和は、物体1の運動エネルギー
のみです。 
......[答](セ) 時刻0から
までに、物体1と床の間の摩擦で失われるエネルギー
は、大きさ
の摩擦力が距離
動く間にする仕事を考えて、 
......[答](ソ) 物体1と物体2の間の摩擦で失われるエネルギー
は、大きさ
の摩擦力が距離
動く間にする仕事を考えて、 
......[答]
問2 物体1と物体2の間に働く力は内力なので、物体3も含めた系全体の運動量保存には寄与せず、時刻
は動摩擦係数
には依存しない。 ......[答]
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は動摩擦係数
に依存するものの、動摩擦係数
に依存しない。その理由を運動量の変化の観点から述べよ。
(∵ ⑥，(コ))
(∵ ⑦，(ケ))
として、衝突直前直後の
において、物体
