京大物理'22年前期[3]

京大物理'22年前期[3]

次の文章を読んで、　　　に適した式または数値を、{　　　}からは適切なものをすべて選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、

など

を付した物理量は微小量であり、1次の項までを考えるものとする。

(1) 図1のように、ピストンによって、断面積Sのシリンダー内に密閉されたモル(mol)数nの理想気体を考える。以下、シリンダー内の理想気体を単に気体と呼ぶ。シリンダーは固定されており、ピストンは摩擦なしに動くものとする。ここで、気体定数はRとする。シリンダーの底(左端)とピストンの内面との間の長さをL，気体の絶対温度をTとする。このとき、シリンダー内の気体の圧力pは、

　あ　である。

図1の状態から、次の2通りの状態変化について考える。

ア) 気体の体積を一定に保って外部から熱を加え、温度を

とした。気体は仕事をしないので、その熱はすべて内部エネルギーに変化する。このとき、定積モル比熱を

とすると、気体の内部エネルギーの変化

と温度の変化

の間には、

　い　という関係式が成り立つ。

イ) 気体の温度Tを一定に保ってピストンを引き、長さを

とした。このとき、内部エネルギーの変化は

　う　であり、気体が外部にした仕事

は、

　え　

となる。

前述のような気体の状態変化を組み合わせて、図2のような、過程Ⅰ，過程Ⅱ，過程Ⅲ，過程Ⅳの4つの過程からなる熱力学的なサイクルを考える。

・　過程Ⅰでは、温度を

に保ったまま、長さが

から

になるまで、ゆっくりピストンを押す。

・　過程Ⅱでは、長さ

のまま、温度を

から

に上昇させる。

・　過程Ⅲでは、温度を

に保ったまま、長さが

から

になるまで、ゆっくりピストンを引く。

・　過程Ⅳでは、長さ

のまま、温度を

から

に戻す。

なお、

，

は、ある正の定数であり、

，

を満たす。
これらの過程のうち、気体が吸熱する過程をすべて挙げると、{お：①過程Ⅰ，②過程Ⅱ，③過程Ⅲ，④過程④}が該当する。このサイクルにおいて、気体が外部に対してする仕事の総量は、{か：①正，②0，③負}である。

(2) 理想気体とは異なる物質を用いても、熱力学的なサイクルを作ることができる。以下では、ゴムのように伸縮するヒモを熱力学的に考察してみよう。ヒモを自然長

から引き伸ばすと、その張力は、引いた向きと逆向きに作用する。ヒモの張力の大きさFが、絶対温度Tに依存し、長さL (

)のとき、

で表される場合を考える。ここで、

と係数Aは、いずれもTやLによらない正の定数とする。また、このヒモの内部エネルギーUは絶対温度Tに比例し、Lによらない正の係数Kを用いて

と表せるものとする。

図3(a)のような、長さL (

)，温度Tのヒモを、

だけさらに伸ばし、図3(b)のように長さ

，温度

になったとする。この過程で、ヒモが外部にした仕事は、ヒモの張力Fを用いて

と書ける。ヒモの吸熱量を

とすると、ヒモの内部エネルギーの変化

は、F，K，

を用いずに表すと、

　き　となる。一方、この過程における温度変化に注目すると、

とも表せる。それゆえ、このヒモを断熱的にゆっくり伸ばした場合、温度の変化

は、A，K，

，L，T,

を用いて

　く　と表せる。
このヒモの状態変化を組み合わせて、以下の過程α，過程β，過程γ，過程δの4つの過程からなる熱力学的なサイクルを考える。

・　過程αでは、温度を

に保ったまま、長さLが

から

になるまで、ゆっくりヒモを引く。

・　過程βでは、長さ

のまま、温度を

から

に上昇させる。

・　過程γでは、温度を

に保ったまま、長さLを変え、

から

まで、ゆっくり戻す。

・　過程δでは、長さ

のまま、温度を

から

に戻す。

なお、

，

は、ある正の定数であり、

，

を満たす。

問1　図4を解答欄に描き写し，過程α，過程β，過程γ，過程δからなるサイクルを、ヒモの長さLを横軸、ヒモの張力の大きさFを縦軸としてグラフに示せ。その際、過程αの最初の状態の張力の大きさを

，過程βの最後の状態の張力の大きさを

として、各過程におけるLとFの変化を実線で示し、それぞれの線にα，β，γ，δの記号をつけて表せ。また、作図に必要な補助線を破線で示すとともに、状態変化の向きを示す矢印も記入せよ。

このサイクルの各過程でヒモが外部にする仕事をみてみよう。各過程でヒモがする仕事は、微小な

の総和であるが、その大きさは、問1のグラフにおいて、対応する面積を求めることでも計算できる。
過程αにおいてヒモがする仕事

は、

，

，A，

を用いると、

　け　と表される。過程γにおいてヒモがする仕事

は、

　こ　

と表される。ヒモが過程βでする仕事

と過程δでする仕事

は、

　さ　である。以上より、この1サイクルにおいて、ヒモが外部に対してする仕事の総量は、{し：①正，②0，③負}であることがわかる。

問2　(1)の理想気体と(2)のヒモでは、系の長さLを変化させる際の熱力学的な応答が異なる。断熱的に長さLを大きくする場合を例にとり、理想気体およびヒモがする仕事の違いに着目し、両者の内部エネルギーおよび温度の増減をそれぞれ説明せよ。

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解答　理想気体とヒモとの熱力学的挙動の違いを考えてみようという問題です。問題文に書いてある道すじに沿って素直に解答できます。

(1) 気体の状態方程式は、

　∴

......[あ]

定積変化における内部エネルギーの変化は、

......[い]
等温変化では、内部エネルギーは変化せず、

......[う]
気体がピストンに及ぼす力は

で、気体が外部にした仕事は、[あ]の結果より(この問題では、問題文中で与えられている物理量が、n，R，T，S，Lであることに注意)、

......[え]

過程Ⅰでは、等温変化で内部エネルギーは変化せず体積が減るので気体のした仕事は負、熱力学第一法則より、気体は排熱しています。
過程Ⅱでは、定積変化で気体は仕事をせず、温度が上昇するので気体の内部エネルギーの変化は正、気体は吸熱しています。
過程Ⅲでは、等温変化で体積が増加するので、気体は吸熱しています。
過程Ⅳでは、定積変化で温度が下がるので気体は排熱しています。
気体が吸熱しているのは、②過程Ⅱと③過程Ⅲです。　②，③ ......[お]
過程Ⅱと過程Ⅳでは気体のした仕事は0で、[え]の結果で考えて、仕事の絶対値は