なお、偏光板や光検出器および後述する透明物体は、その表面が光の進行方向と垂直になるように真空中に置かれており、表面における光の位相の変化や反射は無視する。また、以下での入射光の波長の値は真空中での値とする。
いま、図いま、図1(a)のように、波長が
の単色の入射光を、偏光板Aを通過させた後、光検出器で検出した。z軸を光の進行方向として図1(a)の左下のようにx軸とy軸をとり、偏光板の透過軸とy軸のなす角度をθとする。偏光板は
の範囲で、xy平面内で回転できる。入射光にはいろいろな方向に振動する光が一様に含まれている。そのため、θを上記の範囲で変化させたとき、光検出器の信号強度は
で常に一定であった。また、他の波長の入射光を用いた場合にも同様の結果が得られた。偏光板Aを通過した後の光の状態は、その大きさが電場の振幅で、その向きが電場の向きと一致するベクトル
(以下、これを振幅ベクトルと呼ぶ)を用いて特徴づけられる。図1(b)に示すように、
はx軸方向の成分とy軸方向の成分に分解して考えることができ、
と表せる。なお図1(b)では紙面の裏から表の向きをz軸の正の方向とする。
(1) 図2のように、偏光板Aと光検出器の間に偏光板Bを設置した。偏光板Aの角度
を0に固定し、偏光板Bの角度
だけを変化させた場合、前ページの下線部に注意すると、光検出器の信号強度は あ ×
となる。また、偏光板Aの角度
と、偏光板Bの角度
を、同じ角度にして変化させた場合の光検出器の信号強度は い ×
となる。
(2) 偏光の方向を操作する方法として、偏光板のみを用いる方法について考えよう。図3のように、偏光板Aの角度を0，偏光板Bの角度を
に固定し、その間に偏光板Cを、角度を
にして設置した。波長
の光を入射したときの光検出器の信号強度I は、 う ×
である。
に固定し、その間に偏光板を
(Nは2以上の整数)枚設置した。偏光板Aに近いものから順に偏光板k (
)と呼び、偏光板kの角度を
に設定する。波長
の光を入射したときの光検出器の信号強度I は、 え ×
であり、
のときには お ×
となる。
が1より十分小さい(
)とき
と近似でき、またaを定数として
のとき
と近似できることを用いると、 え ×
は
の極限での光検出器の信号強度I は、
に漸近することがわかる。この結果より、光強度を減衰させずに偏光の方向を角度
だけ回転させることが、原理的に偏光板のみを用いて可能であるという、興味深い結論が得られる。
(3) 偏光の方向を操作する別の方法として、光の偏光の方向によって屈折率が異なる透明な媒質を用いる方法について考えよう。図5のように、偏光板Aと偏光板Bの間に、そのような媒質からなる直方体の透明物体を挿入した場合を考える。その光の進行方向の厚みをd，光の電場の振動方向がx軸方向の場合の屈折率を
，y軸方向の場合を
とし、これらの屈折率は光の波長によらず一定で、互いに異なる
とする。また、この透明物体中では、光は偏光の方向によらず同じ経路を直進し、光の吸収は無視できるとする。
と偏光板Bの角度
をともに
に設定し、波長
の光を入射すると、光検出器の信号強度が0になった。このような状況になる透明物体の最小の厚みを求めてみよう。
であり、電場のx軸方向成分とy軸方向成分は、それぞれの振幅を
，
として同位相(位相差0)で振動している。透明物体部分の光路長は電場のx軸方向成分に対しては き ，y軸方向成分に対しては く であり、それらの光路差(
)は け で与えられる。この光路差が、
および0以上の整数mを用いて こ と表されるとき、透明物体を通過した後の電場のx軸方向成分とy軸方向成分は逆位相(位相差π)となる。このとき、電場の振幅ベクトルのx軸方向成分が、透明物体を通過する前と変わらず
だとすれば、y軸方向成分は、符号が反転し
となる。これらの成分がベクトルとして合成される結果、偏光方向がy軸となす角度は
となり、偏光板Bの透過軸と直交し、検出器の出力は0となる。この条件を満たす透明物体の最小の厚み
を
，
，
を用いて表すと、
＝ さ である。
のとき、偏光板Aと偏光板Bの角度をともにθとして、θを0から
まで変化させた際の光検出器の信号強度I の変化を、グラフに描け。その際、θを横軸、光検出器の信号強度I を縦軸にとり、信号強度I の最大値、最小値と、それぞれに対応するθの値が分かるように図示せよ。
と偏光板Bの角度
をともに
に設定し、こんどは厚みが
の20倍(
)の同種の透明物体を設置して、波長
の光を入射した。このとき、光検出器の信号強度は し ×
となった。
の単色の光を用いると、信号強度は0となった。このような入射光の波長
は複数考えられる。
として、最小の
を、
を用いて表せ。導出過程も示せ。
は、検出器に入射する光の電場の振幅
の2乗に比例し、図1(a)で偏光板Aに入射する光にはいろいろな方向に振動する光が一様に含まれているので、偏光板の透過軸とy軸との角θがいかなる角であっても、kを比例定数として、
は、
･･･①
は偏光板の透過方向を向いていることにも注意してください。
また図1(b)から、
の偏光方向の光がこれと角θをなす方向を透過方向とする偏光板を通過した後の振幅は、
となることがわかります(右図)。
，
だけ回転させた透過軸をもつ偏光板に入射させたとします。
のx方向成分
の透過軸方向成分は
で、これと垂直な方向(
方向)成分は遮断されます。
のy方向成分
の透過軸方向成分は
で、これと垂直な方向成分は遮断されます。透過光の振幅ベクトルが、y軸から時計回りに角
だけ回転した方向をもつように思えますが、透過軸方向成分は、
だけ異なる2枚の偏光板を通すと、完全に遮断されることになります。
をなすので、偏光板Bを通過した後の振幅ベクトルの透過方向成分は
です。光検出器の信号強度は、①より、
......[あ]
です。光検出器の信号強度は、①より、
1 ......[い]
をなし、偏光板Bの透過方向は偏光板Cの透過方向と角
をなすので、偏光板Bを通過した後の振幅ベクトルの透過方向成分は
です。光検出器の信号強度は、①より、
......[う]
なので、偏光板1つ通過するごとに、振幅ベクトルの透過方向成分は
倍されていきます。全部でN枚の偏光板を通過するので、振幅ベクトルの透過方向成分は
倍されます。光検出器の信号強度は、
......[え]
とすると、
......[お]
，[え]の結果について、
とみて、光検出器の信号強度は、
......[か]
の光は、屈折率
の物質中では波長は
になり、屈折率
の物質中では波長は
になり、偏光方向によって波長が異なることになります。この問題ではこれを、波長
のまま透明物体中を進み、距離を屈折率倍した光路長を通過すると考えるので、光が距離d進むとき、電場のx軸方向成分に対しては光路長
，y軸方向成分に対しては光路長
だけ進むと考えます。 
......[き] 
......[く]
)は、
......[け]
･･･②
......[こ]
問題文に、透明物体に進入前に偏光方向がy軸となす角が
であったものが、透明物体通過後にy軸方向成分だけ反転して
になることが説明されていますが、この状況を右図に示します。
のときで、そのときの透明物体の厚み
は、
......[さ] ･･･③
問1 偏光板Aと偏光板Bの角をともにθとすると、偏光板A通過後の電場は問題文の図1(b)のようになります。
のとき、問題文に書かれているように、透明物体通過後、電場の振幅ベクトルのy軸方向成分が反転します。電場の振幅ベクトルは
となりますが、これがy軸と角θをなす偏光板Bを通過すると、右上図のように、
と偏光板Bの透過方向は角
をなすので、偏光板B透過方向成分は
となり、これが振幅になるので、光検出器の信号強度は、
に注意して、
･･･④
のとき
(最大値)，
のとき
(最小値)となるので、信号強度の変化のグラフは右下図。
のときの光路差は、③より、
なので、(1)[い]と同じ状況になり、光検出器の信号強度は、
1 ......[し]
のとき、光検出器の信号強度が0だった、ということは、透明物体通過後の電場のx軸方向成分とy軸方向成分は逆位相だったということで、②で
と考え、mを0以上の整数として、
∴ 
は、
のとき最小で、最小の
は、
......[答]