東工大物理'11年前期[2]
単位長さあたりの抵抗がRで太さが無視できる針金を使って、図1(i)のような回路を作る。図1(i)の回路は半径aの円と長さ
の線分からなっていて、円の中心をO，直径の両端をP，Qとする。点Oを座標の原点、また回路を含む平面をxy平面とし、それに垂直な向きをz軸とする。ここで、磁束密度
(
)の外部磁場を
の領域のみに加える。回路はxy平面内で点Oを中心に自由に回転できるとする。以下では回路自身の自己インダクタンスは無視する。次の問いに答えよ。
[A](a) 図1(ii)のように時刻
では回路上の点Pが座標
にあったとして、時刻
からこの回路を反時計回りに角速度ω で回転させる。時刻t (
)にOQ間に発生する誘導起電力の大きさEを求めよ。ただし針金の抵抗による電圧降下はEには含めないこと。
以下の(b)－(f)の解答では、Bを用いずに(a)で求めたEを用いよ。
(b) 時刻t (
)に、回路を角速度ω で回転させ続けるのには外から仕事をする必要がある。その仕事は単位時間当たりいくらか。E，R，a，ω のうち必要なものを用いて答えよ。
[B] 次に図2のように、この回路の直径PQと直交する方向の直径にも長さ
の同じ針金を渡して、点Oおよび両端で回路と接続する。この針金の端点を図2のようにR，Sと名づける。(c) 図2のように時刻
では回路上の点Pが座標
にあったとして、時刻
からこの回路を反時計回りに角速度ω で回転させる。点P，Q，R，S，Oでの電位をそれぞれ
，
，
，
，
とおく。時刻tが
の範囲のとき、これらの電位を大きい順に並べ、大小関係がわかるように＞，＝を用いて書け。 (解答例：
など。) (d) 時刻
に針金OQを
の向きに流れる電流
はいくらか。E，R，a，ω のうち必要なものを用いて答えよ。
[C] 今度は図1(i)の回路で、図3(i)のようにこの回路の中心Oに小さなコイルを挿入する。コイルを挿入する前後で、直径PQ間の抵抗は変化していないものとする。また、コイルと図1の回路全体の相互インダクタンスも無視する。外部磁場中でコイルが運動することによる電磁誘導は無視できるものとする。次の問いに答えよ。
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解答 電磁誘導と自己誘導を扱う問題です。難しくはないのですが、目新しい問題なので、まごつくかも知れません。
[A](a) 図1(ii)の状況で、点
上に来ている針金上の点をR，点
上に来ている針金上の点をSとします。 時刻tにおいて直径PQが角
回転した時点で、弧QSPと直径PQで囲む部分で外部磁場中(
の部分)に存在する部分の面積は、
，磁束
は、
，この部分に発生する起電力の大きさは、
，起電力の向きは、磁束が減少するのでレンツの法則より上向きの磁場を作るような電流(
)を流す向きで、Qの電位が高く、Oの電位が低くなります。
このとき、弧QRPと直径PQで囲む部分で外部磁場中に存在する部分の面積は、
，磁束
は、
，この部分に発生する起電力の大きさは、
，起電力の向きは、下向きの磁場を作るような電流(
)を流す向きで、Qの電位が高く、Oの電位が低くなります。
結局OQ間に、大きさ
の起電力が並列に2個入ります。
よって、OQ間に発生する誘電起電力の大きさEは、
......[答] (b) 直径PQ間の抵抗は
，弧QSP，弧QRPの抵抗はそれぞれ
で並列接続されるので、合成抵抗を
として、
，
と
の直列の合成抵抗は
回路で消費される電力は、
回転させ続けるのに必要な単位時間当たりの仕事も、
......[答]
[B](c) 
の経路に囲まれる部分はすべて磁場内にあるので、この部分には起電力は発生せず、QS間の電流はゼロで、Q，Sは等電位です。 
の経路に囲まれる部分で磁場中に存在する部分の面積は、
，磁束は
，起電力の大きさは、
，向きは
の向きに電流を流す向きで、Sの電位が高くOの電位が低くなりす。
の経路に囲まれる部分はすべて磁場外にあるので、この部分には起電力は発生せず、PR間の電流はゼロで、P，Rは等電位です。
の経路に囲まれる部分で磁場中に存在する部分の面積は、
，磁束は
，起電力の大きさは、
，向きは
の向きに電流を流す向きで、Qの電位が高くOの電位が低くなります。
これより、電位を大きい順に並べると、
......[答](d) OQ間の抵抗は
，QR間の抵抗は
，RO間の抵抗も
，これらの直列接続の合成抵抗は、
，(c)の検討により、
に流れる電流は、 
......[答]
[C](e) [A](b)より、回路の合成抵抗は
，充分時間が経過した後にP→Qに流れる電流は、
･･･① 
直後には、回路には電流は流れず、コイル両端に発生する誘導起電力
と、回路の回転によりPQ間に発生する起電力Eが打ち消し合います(コイル両端の電圧が、PQ間の起電力に等しくなる)。このとき、グラフより、
，よって、①より、
......[答] ･･･② (f) 時刻
に、Qが
に、Pが
に来たとき、
の状況とPとQが入れ替わった状況となり、
以後誘導起電力の向きが変わります。誘導起電力の向きが変化してもコイルはそれまでの電流を維持しようとしますが、
以後徐々に電流が減少し、コイルを導通させたのと同様の電流を流すようになり、最終的に
における電流と符号が逆の電流が流れます。こうなっているグラフは、(イ) ......[答]，
......[答] 
直後の時点で、PQ間の起電力はEから
となります。また、回路にはまだ電流
が流れています。キルヒホッフ第2法則より、この右辺は①よりEに等しく、
∴ 
グラフより、
なので、②を用いて、 ∴ 
，
......[答]
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では回路が静止していて点Pは座標
にあったとして、時刻
からこの回路を反時計回りに角速度ω で回転させる。すると、コイルを
の向きに流れる電流
は図3(ii)のように変化して、一定値
に近づく。
でのグラフの接線が、
と交わる点でのtの値をTとおく。このときコイルの自己インダクタンスLをE，R，a，ω，Tのうち必要なものを用いて答えよ。
(f) (e)でほぼ一定値
になった後しばらくすると、電流
の符号が変化した。この変化のグラフとして最も適切なものを図4(ア)－(エ)の中から一つ選び、図中の時刻
および
をE，R，a，ω，Tのうち必要なものを用いて答えよ。なお図4(イ)－(エ)では、グラフの接線も点線で図中に書き込まれており、(イ)では
，(エ)では
，(ウ)では
となる時刻における接線である。またこのグラフは模式図であり、横軸のスケールは正確ではない。
