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東大物理
13
年前期
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東大物理
'13
年前期
[3]
次のT,U,Vの各問に答えよ。なお、角度の単位はラジアンとする。
T 図
3
−
1
のように、超音波発信器を用いて平面波に近い超音波を板
A
に入射する
(
板中の直線は波面を表す
)
。振動数を変化させながら縦波の超音波を板面に垂直に入射したところ、振動数が
の整数倍になるごとに板が共振した。板
A
の厚さを
,板
A
内を伝わる縦波の超音波の速さを
とする。また、板の両面は自由端とする。
(1)
を
,
を用いて表せ。
(2)
のとき、振動数
と
の両方で共振が起こった。
の最小値を求めよ。
U 固体中では縦波と横波の両方が存在する。縦波と横波は速さが異なり、縦波の方が
k
倍
(
)
速い。図
3
−
2
のように板
A
と、それとは材質の異なる板
B
を貼り合わせ、
2
層構造を持つ板を作製した。板
B
内を伝わる縦波の速さを
とし、
とする。また、
k
の値は物質の種類によらないとする。
板
A
の表面上の点
O
から、図
3
−
2
のように板
A
内を角度
α
(
)
で伝わる縦波を入射した。すると、境界面で縦波の反射波、屈折波のみならず、横波の反射波と屈折波も発生した。反射角は、縦波と横波についてそれぞれ
θ
と
であった。屈折角は、縦波と横波についてそれぞれ
ϕ
と
であった。
(1)
縦波の反射角
θ
が入射角
α
と等しくなることをホイヘンスの原理に基づいて考える。図
3
−
3
中の記号
P
,
Q
,
R
,
S
を用いて、
を埋めよ。
図
3
−
3
において、
PQ
に平行な波面を持つ入射波が速さ
で進んでいる。波面上の
2
点がそれぞれ
P
,
Q
を通過してから時間
T
後,
Q
を通過した側が境界上の点
S
に達したとする。このとき、
P
から発せられた素元波が時間
T
後になす半円に対して
S
から引いた接線
RS
が反射波の波面となる。△
PQS
と△
SRP
において、
,
ア
=
イ
=
,
PS
=
SP (
共通
)
であるから△
PQS
と△
SRP
は合同である。また、△
PQS
は
を直角とする直角三角形であるから、
ウ
。同様に、△
SRP
は
を直角とする直角三角形であるから、
エ
。ゆえに、
である。
(2)
横波の反射角
について、
を求めよ。
(3)
縦波の屈折角
ϕ
,横波の屈折角
について、
,
を求めよ。
V Uで作製した
2
層構造を持つ板の境界面から深さ
h
の位置に異物
X
が存在している。図
3
−
4
のように、
O
より超音波を入射してから異物表面での反射波が
O
に戻ってくるまでの時間を
t
とする。
t
の測定値から
h
を求める方法を考えよう。
(1)
まず、入射角
α
を調整し、板
B
中を伝わる屈折波が横波だけとなるようにしたい。
の満たすべき条件を求めよ。
(2) (1)
の条件を満たすある入射角
α
で
O
から縦波を入射したところ、境界上の点
Y
で横波が屈折角
で板
B
中に入射し
X
に到達した。その後、同じ経路をたどって反射波が
O
に戻ってきた。
t
を
k
,
h
,
,
,
,
α
,
を用いて表せ。ただし
X
の大きさは無視せよ。
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解答
Uでは、問題をよく読まないと、横波と縦波で何が違うのかと錯覚しかねません。「板
A
の表面上の点
O
から、・・・縦波を入射した」とする問題文を見逃さないようにしましょう。縦波を入射したら
境界面で
横波が発生するわけです。なお、U
(1)
については、
ホイヘンスの原理
、
波の反射
を参照してください。
板
A
の上端、下端が、一方が固定端で他方が自由端である場合、一端閉管の振動と同様に、共振は
基本振動数
の奇数倍の
振動数
で起きます。
板
A
の上端、下端が、ともに自由端、あるいは、ともに固定端である場合、開管、あるいは、弦の振動と同様に、
基本振動数
の整数倍の
振動数
で共振します
(
定常波
を参照
)
。
本問では、問題文に、「
振動数
が
の整数倍になるごとに板が共振した」とあるので、後者と考えるべきで、板
A
が
基本振動数
で共振するとき、板
A
の
厚さ
は
半波長
に一致します。なお、前者であれば、板
A
の
厚さ
は
波長
に一致します。
T
(1)
基本振動の
振動数
,速さ
の超音波の
波長
は
です。基本振動が板
A
で共振する条件は、板
A
の
厚さ
が
半波長
に一致することで、
∴
......[
答
]
(2)
のとき、超音波の
波長
は
,共振が起こる条件は
m
を自然数として、
・・・@
のとき、超音波の
波長
は
,共振が起こる条件は
n
を自然数として、
・・・A
@,Aをともに満たす自然数
m
,
n
の中で最小のものは、
,
,このとき、
......[
答
]
U
(1)
△
PQS
と△
SRP
において、
,
,
(
共通
)
より、△
PQS
≡△
SRP
△
PQS
は∠
PQS
を直角とする直角三角形だから、
同様に、△
SRP
は∠
SRP
を直角とする直角三角形だから、
∴
(
ア
) QS
(
イ
) RP
(
ウ
) QPS
(
エ
) RSP ......[
答
]
(2) (1)
と同様の考察を行うと、入射縦波について、
,反射横波について、
辺々割ると、
∴
......[答]
(3) (1)
と同様の考察を行うと
(
光の屈折
を参照
)
、板
A
内の縦波について、
・・・B
板
B
内の縦波について、
・・・C
板
B
内の横波について、
・・・D
C÷Bより、
∴
......[答]
D÷Bより、
∴
......[答]
V
(1)
板
A
から板
B
に縦波が侵入しようとするときに縦波が全反射する条件は、縦波の
屈折角
ϕ
が存在しないことで、
∴
板
A
,板
B
の境界面に縦波が到来して、板
B
側に横波が発生する条件は、横波の
屈折角
が存在することで、
∴
(
,問題文より
)
よって、求める条件は、
......[
答
]
(2)
縦波は板
A
中の
距離
を
速さ
で進み,境界面で発生した横波は板
B
中の
距離
を
速さ
で進み、同じ経路をたどって反射波が
O
に戻ってきます。
縦波が板
A
中を進む
時間
は、
横波が板
B
中を進む
時間
は、
求める
時間
t
は、
......[
答
]
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