東大物理'25年前期[2]
Ⅰ 図2-1のように、真空中に直径a，長さ
，巻数NのソレノイドAがある。その中心軸をx軸にとり、原点OをソレノイドAの中心となるようにとった。x軸は右向きを正とする。
はaより十分に大きい。ソレノイドAに右から左に向けて一定の大きさIの直流電流を流す。真空の透磁率(磁気定数)を
として以下の設問に答えよ。
(1) 原点Oの磁束密度の大きさ
を求めよ。
(2) ソレノイドAを中央で二分割して左半分(
)を取り除き、図2-2のように、右から左に向けて一定の大きさIの直流電流を流した。このとき、原点O付近の磁力線は図2-3のように表される。原点Oにおける磁束密度の大きさ
を、
を用いて表せ。
Ⅱ 図2-4のように、設問Ⅰ(1)での長さ
のソレノイドAを、中心軸がx軸、左端面中心が原点Oとなるように固定し、右から左に向けて一定の大きさIの直流電流を流す。さらに、直径b (
)，巻数1の円形コイルBを、位置
(
)からソレノイドA内部の位置
まで等速運動させる。円形コイルBの中心は常にx軸上にあり、コイル面はx軸に垂直である。
は
より十分に小さい。また、円形コイルBには紙面の手前側に端子
，
がある。その端子間距離は十分に小さく、円形コイルBの電気抵抗と自己インダクタンスは無視できる。
(1) 端子
，
間に抵抗値Rの電気抵抗を接続し、円形コイルBを等速運動させた。円形コイルBを貫く磁束が短い時間
の間に
だけ変化したとき、円形コイルBに流れる電流の大きさ
を求めよ。 
(2) 円形コイルB全体が磁場から受ける力をFとする。Fは右向きを正とする。前問Ⅱ(1)と同様に端子
，
間に抵抗値Rの電気抵抗を接続し、円形コイルBを位置
から
まで速さ
で等速運動させたとき、xとFの関係を表すグラフの概形として最も適切なものを図2-5の(あ)～(し)から一つ選んで答えよ。
(3) 前問Ⅱ(2)において、電気抵抗の抵抗値をRから
にすると、Fの大きさの最大値は何倍になるか、理由とともに答えよ。 
(4) 図2-6に示す素子1～9は、抵抗値Rの電気抵抗、電気容量Cのコンデンサー、ダイオードからなる。ダイオードでは、順方向には抵抗0で電流が流れ、逆方向には流れないものとする。例えば素子4においては、紙面下向きには電流が流れ、上向きには流れない。
ソレノイドAに流す直流電流の向きを逆にし、左から右に向けて一定の大きさIの直流電流を流した。ここで、円形コイルBの端子
，
間に素子1～9のうち一つを選んで接続し、円形コイルBを位置
から
まで速さ
で等速運動させる場合を考える。ただし、円形コイルBの端子
に素子の端子Xを、端子
に素子の端子Yを接続するものとする。このとき、xとFの関係が、設問Ⅱ(2)と全く同じになる素子を図2-6の素子1～9からすべて選び、番号で答えよ。
Ⅲ 図2-7のように、図2-4の状態からソレノイドAを取り除き、代わりに直径a，巻数1の円形コイルCを固定した。円形コイルCの中心は原点Oに一致し、コイル面はx軸に垂直である。円形コイルCに一定の大きさの直流電流を、左から見て反時計回りに流して磁場を作る。円形コイルBの端子
，
間に抵抗値Rの電気抵抗を接続し、円形コイルBを位置
(
)から
まで等速運動させる。円形コイルB全体が磁場から受ける力をFとする。Fは右向きを正とする。xとFの関係を表すグラフの概形を描け。なお、Fの最大値や最小値、それをとるxの値を示す必要はない。
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解答 磁気に関する基本問題ですが、物理的思考力を要求する内容になっています。
Ⅰ(1) 原点Oにおける磁場の強さHは、単位長さあたりの巻数が
なので(電流の作る磁界を参照)、 原点Oにおける磁束密度の大きさ
は、真空中では
より、 
......[答]
(2) ソレノイドの右半分が原点Oに作る磁束密度を
，取り除かれたソレノイドの左半分が原点Oに作る磁束密度を
とすると、
Ⅱ(1) 電磁誘導の法則より、円形コイルBに発生する起電力の大きさは
です。端子
，
間に抵抗Rを接続すると、円形コイルBに流れる電流の大きさ
は、オームの法則より、 
......[答]
(2) ソレノイドAの左端にできる磁場は図2-3のようになり、原点Oからx軸負方向に進むに従って磁力線の密度は小さくなり、磁束密度の大きさも小さくなります。
円形コイルを
から
(
)まで等速運動させると、原点Oまでは円形コイルと貫く磁束は増大し、原点Oを過ぎると、磁束密度、従って磁束は次第に一定になります。
から原点Oまで、抵抗Rを接続した円形コイルBに流れる電流は、レンツの法則より、増大する左向きの磁場を弱める向き、つまりx軸正方向の磁場を強める向き、即ち、端子
から端子
に向って流れ、x軸正方向に向く磁場を作り、ソレノイドの作る磁場との間に斥力、つまりx軸負方向の力を生じます。つまり
です。また、Fの大きさは、原点Oまで、磁場の強さと
の増大とともに次第に増大します(負値のFは小さくなります、フレミング左手の法則を参照)。
原点Oを通過すると、ソレノイドA内の磁場は次第に一定値に近づき、
は減少し、斥力Fの大きさも小さくなります。
そうなっているグラフは(く) ......[答]
(3) 抵抗値をRから
にすると、各時点で円形コイルBを流れる電流の大きさは
倍になり、磁場の値が同じ値であれば、Fの大きさは電流の大きさに比例するので、Fの最大値も
倍になります。 ......[答]
(4) ソレノイドAに流す電流の向きを逆にすると、コイルBに流れる電流の向きも逆になり、各素子にYからXに向って電流を流そうとします。ですが、ソレノイドの作る磁場とコイルBの作る磁場との間に斥力が働くことは変わりません。
素子2，素子3，素子6，素子8、素子9では、コンデンサーに充電されるので(2)とは違う状況になります。素子4では電流が流れず(2)とは違う状況です。
素子5では、YからXに向って電流が流れ、(2)と同じ状況になります。
素子7では、コンデンサーに向って電流が流れず充電は起こりません。素子7は(2)と同じ状況になります。
よって、(2)と同じ状況になる素子は、1，5，7 ......[答]
Ⅲ 円形コイルCが作る磁場の磁力線は、x軸負方向を向き、磁力線の密度は原点Oで最も大きく、
が大きくなるに従って小さくなります。また、磁場の強さは
と
とで対称になります。円形コイルBを
から
(
)まで等速運動させると、
では斥力、
では引力が働きますが、力はずっとx軸負方向を向き、力の大きさも
と
とで対称になります。 
また、
付近では、円形コイルCが作る磁場の強さが最大値に近づき磁束の変化率が0に近づくので、円形コイルBに生じる起電力が一旦0に近づき、斥力の大きさも一旦0に近づきます。つまり、
から原点Oまでの間にFの大きさが最大になるところがあり、そこから原点に近づくに従って、Fの大きさは次第に小さくなり0に近づきます。
よって、xとFの関係を表すグラフの概形は右図。
注．円形コイルCに大きさIの電流が流れるとき、半径
の円形コイルCがx軸上の位置xに作る磁束密度の大きさBは、 となることが知られています(円電流の作る磁界を参照)。円形コイルBの面積をSとして、円形コイルBを貫く磁束Φは、kを定数として、 と書けます。円形コイル
の等速運動の速さを
とすると、円形コイルBに発生する起電力Vは、
において
，
において
として、 円形コイルBに流れる電流は、
円形コイルが磁場から受ける力Fは、
に比例し、
を定数として、 という形になるのですが、
ではBとCの間に斥力、
ではBとCの間に引力が働き、いずれも
となります。 
として、
のグラフは右図のようになりますが、力Fのグラフの概形は、右図で
の部分をy軸に関して折り返したものになります。
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