東大物理'26年前期[2]
図2-1のような、円形レール上を回転する導体棒を含む回路を考える。導体でできた半径lの円形レールが水平面上に設置され、中心点には導電性の回転軸が設置されている。それらの上には、質量をもつ導体棒が渡してある。導体棒は、その一端が回転軸で支持されており、もう一端を円形レールに接触させたまま水平面内で回転することができる。円形レールと回転軸は、それぞれ端子Pと端子Oで抵抗や切り替えスイッチ等に接続されている。抵抗の値はRである。円形レール内には、磁束密度Bの一様な磁場が、鉛直上向き(紙面の裏から表の向き)にかけられている。ただし、円形レールの太さや回転軸の大きさは無視できるものとする。導体棒は変形せず、円形レールと回転軸以外には接触しない。 摩擦や空気抵抗、円形レールや導体棒の電気抵抗や接触抵抗、回路を流れる電流が作る磁場の影響は無視できるものとする。

Ⅰ　スイッチを開放したまま導体棒を一定の角速度で回転させたところ、端子Oと端子Pの間に起電力が生じた。この起電力は、係数αを用いてと表される。微小な時間内に導体棒が横切る領域を貫く磁束を考え、係数αをl，Bを用いて答えよ。符号は問わない。

Ⅱ　導体棒を静止した状態に戻したうえで、スイッチを端子Xに入れ、電圧Vの直流電源に接続した。直流電源の内部抵抗は無視できるものとする。

(1) スイッチを端子Xに入れた直後に導体棒の回転軸周りにはたらく力のモーメントの大きさをV，l，B，Rを用いて表せ。符号は問わない。ただし、導体棒は太さが一定であり、一様な密度をもつものとする。
(2) その後、導体棒が回転軸の周りを回転し始めた。図2-1の(あ)，(い)のどちら向きに回転したか答えよ。
(3) 十分時間が経過した後、導体棒は一定の角速度で回転し続けた。この角速度の大きさをV，α，l，B，Rから必要なものを用いて表せ。符号は問わない。

Ⅲ　設問Ⅱ(3)のように導体棒が角速度で回転している状態で, スイッチを端子Yに切り替え、容量を持つコンデンサー1に接続する。導体棒の回転は徐々に緩やかになり、十分に時間が経過した後、一定の角速度で回転し続けた。このとき、コンデンサー1に蓄えられているエネルギーを，α，l，B， から必要なものを用いて表せ。ただし、最初はコンデンサー1には電荷は蓄えられていなかったものとする。

Ⅳ　設問Ⅱ，Ⅲの操作の結果は、図2-2のように、端子O-P間の部分を仮想コンデンサー(コンデンサー2)とみなすことでも理解できる。コンデンサー2は実際のコンデンサーと同様の性質をもつ。つまり、端子間の電圧，仮想的な容量と仮想的な電荷の間の関係式、および蓄えられる静電エネルギーは、実際のコンデンサーと同じ式で表される。

(1) 物体が回転しているとき、その物体は回転による運動エネルギーをもつ。 導体棒が一定の角速度ωで回転しているとき、その運動エネルギーは、定数βを用いてと表すことができる。これに等しいエネルギーがコンデンサー2に静電エネルギーとして蓄えられていると解釈するとき、とを、それぞれω，α，βを用いて表せ。
(2) 図2-2において設問Ⅱ，Ⅲと同じ操作を考える。すなわち、スイッチを端子Xに入れて十分時間が経過した後、 スイッチを端子Yに切り替え、十分に時間を経過させる。この操作の結果、コンデンサー1に蓄えられているエネルギーをV，，を用いて表せ。ここで、スイッチを端子Yに切り替えた後、 コンデンサー1とコンデンサー2に蓄えられる電荷の和は変化しないと考えてよい。
(3) 設問Ⅲと設問Ⅳ(2)の結果から、設問ⅢのをV，α，，を用いて表せ。



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
解答　以前、京大でよく見られた力学系を電磁気系で解釈しようという問題です。巨大な建造物の耐震性を調べるとき、実物を造らなくてもあらかじめ等価な電磁気系で評価することができます。

Ⅰ 時間t の間に導体棒が回転する角度は，この間に導体棒が横切る領域の面積は，導体棒が横切る領域を貫く磁束は
導体棒に発生する起電力は、，よって、 ......[答]

Ⅱ 導体棒には外側から回転軸に向って、電流が流れます。
(1) フレミング左手の法則より、導体棒に働く力の大きさは，向きは導体棒を反時計回りに回転させる方向です。導体棒の回転軸周りにはたらく力のモーメントの大きさは ......[答]

(2) 導体棒に働く力は、(1)に記した通り、反時計回りに回転させる方向なので、回転を始める向きは、(あ) ......[答]

(3) 充分時間が経過すると、導体棒に発生する逆起電力の大きさが、直流電源の電圧と等しくなり、導体棒に電流が流れず、導体棒に働く力が0になります。Ⅰ(1)においてをとして、導体棒には起電力が発生しているので、
　∴ ......[答]

Ⅲ 充分時間経過すると、Ⅰ(1)においてとして、導体棒には起電力が発生します。コンデンサー1が蓄えているエネルギーは、
......[答]

Ⅳ(1) コンデンサー2の電圧をとします。コンデンサー1の電圧もです。コンデンサー2に蓄えられる電荷について、，コンデンサー2に蓄えられるエネルギーについて、
コンデンサー2の電圧は、Ⅰ(1)においてとして、，よって、
問題文よりコンデンサー2に蓄えられる静電エネルギーは、
より、
∴ ......[答]
　∴ ......[答]

(2) スイッチをXに入れて充分時間が経過した後、コンデンサー2の電荷は
スイッチをYに切り替えて充分時間が経過すると、とが並列になるので、両端の電圧をとして、，
コンデンサー1に蓄えられるエネルギーは、
......[答]

(3) スイッチをYに入れて充分時間が経過すると、コンデンサー2に蓄えられるエネルギーは、導体棒の回転の運動エネルギーに等しく
(1)の答より，これを代入して、
よって、 ......[答]



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
　　東大物理TOP　　物理TOP　　TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。
なお、解答は、
苦学楽学塾制作です。
©2005-2026
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。