水平面上に置かれ、一定の角速度
で回転する半径
の円板を考える。円板上にはレールが敷かれている。レールの上には質量
の小球があり、レールの上を移動することができる。このとき、以下の問いに答えよ。で回転する半径の円板を考える。円板上にはレールが敷かれている。レールの上には質量の小球があり、レールの上を移動することができる。このとき、以下の問いに答えよ。
[1] 図−aのようにレールが直径AB上に設置され、小球は、円板の中心Oに固定された支柱と、自然長
，バネ定数
のバネで結合されている。円板とともに回転している観測者から見て小球が静止しているとき、小球から中心Oまでの距離が
であった。
である。摩擦が無視できるとき、バネの弾性力とのつり合いから距離
は
[2] 図−bのようにレールが弦CE上に設置され、小球は、弦CEの中点Dに固定された支柱と、先と同等に自然長
，バネ定数kのバネで結合されている。弦CEの中心角
は
である。円板とともに回転している観測者から見て小球が静止しているとき、小球から中点Dまでの距離が
であった。
である。レール壁面から横方向に小球が受ける垂直抗力の大きさは か 
であるので、レール方向の最大(静止)摩擦力の大きさ
は、
き である。
の上限は、
，図−
のように小球がレール上を移動することができるようにした。
[3] ニュートンの運動の第一法則は、次のように表現される。
，図−
においては、回転する円板上でなく円板の外で静止している観測者から見たときに慣性の法則が成立することに注意しよう。
において、小球が点Aから点Bに向かって直径上のレールを滑る。小球が中心Oを通過した瞬間にレールを取り払い、小球が円板上を摩擦なく自由に運動できるようにした。その後の小球は、円板の外で静止している観測者の視点では慣性の法則に従って運動を続ける。この運動を中心Oで円板とともに回転している観測者から見ると、 ア のような運動として観測される。
[4] 図−
において、小球が点Cから点Eに向かって弦CE上のレールを滑る。小球が中点Dを通過した瞬間にレールを取り払い、小球が円板上を摩擦なく自由に運動できるようにした。この運動を中心Oで円板とともに回転している観測者から見ると、 イ のような運動として観測される。
において、小球が点Cから点Eまで弦CE上のレールを滑る。点Eを通過した後、小球はそのままレールから飛び出した。その後の小球は、円板の外で静止している観測者から見ると、 ウ のような運動を行う。ただし、円板上面と水平面の段差は無視できるとする。
図のように半径Rの半円部ABC，半径Rの半円部DEF，長さ
の直線部CDからなる絶縁体の細いレールが水平な床上に設置されている。レールはひとつの鉛直面(xy平面、x軸は水平方向、y軸は鉛直方向)内にあり、直線部CDはx軸に平行である。物体1の質量はm，物体2の質量は
である。物体2は正に帯電しており、半円部DEFの中心点Gには物体2の電荷と同じ大きさの負電荷が固定されている。重力加速度の大きさをg，静電気力に関するクーロンの法則の比例定数をkとして、以下の問(1)〜(5)に答えよ。なお物体1と物体2の大きさや、レールと物体1，レールと物体2との摩擦、および空気抵抗は無視できるものとする。
，
とせよ。
問1 図4のように、xy平面上で時計回りに角速度の大きさがω で等速円運動をする物体を考える。xy座標の原点を円の中心とし、時刻tでの物体の位置
を
と表す。ただし、円の半径をrとし、時刻0では
とする。同様に、速度
を
，加速度
を
と表す。答えは、r，ω，tの中から必要な記号を用いて表せ。
ア ，
イ である。時刻0から
までの位置の変化
は、
が十分小さいときには
に等しいので、
ウ ，
エ である。
と
のなす角は
であるから、
オ ，
カ となる。同様に、速度の変化
は
に等しいので、
キ ，
ク である。
と
のなす角は
であるから、
ケ ，
コ となる。
問2 図5のように、質量mの多数の物体を、質量が無視できるバネ定数kの同じバネでつなぎ、なめらかな水平面上の直線(x軸)に沿って静止させる。このとき、各物体の間隔はdであり、左端からn番目の物体の位置
を
とする。次に、それぞれの物体を振幅r，角振動数ω でx方向に単振動させる。時刻tにおいて、n番目の物体がはじめに静止していた位置
からの変位を
とする。以下では、すべての物体の変位が図6に示すように波長λの正弦波上にあり、時間の経過にしたがって、この正弦波がx軸の正の向きに進む場合を考える。このとき、λはdにくらべて十分に大きく、物体に作用する力はバネによるもののみとする。 答えは、r，ω，t，d，λ，m，kの中から必要な記号を用いて表せ。
であり、単振動の変位は
であった。このとき、
番目と
番目の物体に対応する等速円運動の回転角は、それぞれ サ と シ となり、
( サ )，
( シ )となる。時刻tにおいて、P番目の物体の加速度は ス であり、P番目の物体が左右のバネから受ける力の合力は セ 
であるので、この物体の運動方程式から、ω とλの間には
ソ の関係がある。
図のように、水平からの角度θ のなめらかで摩擦のない斜面上にばね定数
のばねがあり、その一端が斜面上の壁に固定されている。ばねの他端に質量
の板が取り付けられ、つりあいの状態にある。ここで、この板のつりあいの位置を基準とした高さ
の斜面上の位置に質量
の小球を置いて静かに手を離すと、小球は運動を始め、板に衝突した。小球と板の大きさ、および、ばねの質量は無視できるものとする。また、重力加速度を
とする。以下の文章の空欄を埋めよ。
(6) [s]である。小球が板に衝突した直後から、
後の小球と板の位置は、ばねが自然長から (7) [m]だけ縮んだときの位置となる。
図1のように、半径Rの円柱を4分の1にした台(以下、曲面台とよぶ)を水平な床面に置き、その曲面台の上方に左端が固定されたばねをのせた台を水平に配置する(以下、水平台とよぶ)。ばねの右端部には互いに連結された質量
の小球Aと質量mの小球Bが取り付けてある。曲面台の最上部Sから水平台上面までの高さhは、水平台を水平のまま上下させることで変えることができる。重力加速度をg，ばね定数をk，曲面台と小球のはねかえり係数を1 (弾性衝突)とする。また、小球A，Bの大きさ、水平台の厚み、摩擦、空気抵抗の影響は無視でき、小球A，Bは紙面内でのみ運動し、曲面台は床面に固定されているものとして以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。
と切り離した後の周期
の比
を求めよ。
を、m，g，k，dの中から必要なものを用いて表せ。
で飛び出した。その後、図1のように
となる曲面台表面の点Pに衝突し、さらに、はねかえって床面上に落下した。このとき、
とし、小球Bは点Pで曲面台の表面に接するなめらかな平面ではねかえるとみなせることとする。
を、m，g，Rの中から必要なものを用いて表せ。
の中から必要なものを用いて表せ。ただし、水平右向きをx軸の正の向き、鉛直下方をy軸の正の向きとする。
問(3) 
のとき、図2のように、小球Bは水平台表面から速度vで曲面台に到達し、さらに曲面台表面上を移動した後、ある点Dで曲面台表面から離れた。このとき、点Dの床面からの高さをHとし、水平台表面と曲面台表面はなめらかにつながっているものとする。
をαとしたとき、
をg，R，m，vの中から必要なものを用いて表せ。
の場合、すなわち曲面台の頂点Sで、小球Bがすぐに曲面台から離れる速度の最小値
を、g，R，mを用いて表せ。
よりも大きいときと小さいときの両方の場合について示せ。また、vが限りなく0に近いときと
のときのHの値をグラフの縦軸上に記せ。
図1のように、傾きθ の斜面をもつ質量
の台が水平面の溝に置かれている。この斜面上の点Pから質量mの小球を長さ
の糸でつるしたところ、点Aの位置で静止した。座標軸は、図のように、水平面と台の斜面が交わった直線に平行な方向にx軸を、溝に平行な方向にy軸を、xy平面に垂直な方向にz軸をとる。小球に、x軸の正の向きに初速度
を与えたときの運動を考える。重力加速度をgとし、小球の大きさ、糸の質量、すべての摩擦および空気抵抗は無視でき、また、糸は伸び縮みしないものとして以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。
)に達したときの小球の速さ
を、
，
，g，θ を用いて表せ。
の最小値を、
，g，θ を用いて表せ。
，台の速度のy成分をVとする。
とVとの間に成り立つ関係式を記せ。
(b) 初速度を与えてから点Cを通過して再び点Aに戻るまでの小球と点Pのy座標の時間変化を、それぞれ太い実線と太い破線として表したグラフとして最も適当なものを、図2の(ア)〜(カ)の中から1つ選び、記号で答えよ。
で、台が溝の中をy方向にのみ、なめらかに動ける場合を考える。小球が最上点Cの位置に到達したときに糸を切った。その後、小球は斜面上を運動して図1の点Dを通過した。ただし、点Dと点Aのz座標は等しいとする。
を、
，
，gから必要なものを用いて表せ。
を、
，gを用いて表せ。
，gを用いて表せ。
図に示すように、高さを調節できる発射台から水平面上の台車に向けて大きさの無視できる鉄球を水平右方向に打ち出す。台車は、水平で厚みの無視できる上板およびばね定数kのばねから構成されている。上板の質量をMとし、ばねなど台車のそれ以外の部分の質量は無視できるものとする。上板はなめらかで、鉄球に対する反発係数をeとする。ばねと上板は、台車に対して鉛直方向になめらかに運動するものとする。ばねの伸縮が平衡状態のときの上板の位置を鉛直方向の座標原点とし、発射高さはこの点から測った高さとする。床面はなめらかで、台車は水平方向に自由に運動できる。鉛直上方及び右方を座標の正の向きとし、重力加速度の大きさをgとする。
で水平方向に打ち出し、静止した台車の上板に落下させた。ただし、
とする。
とするとき、高さの比
はいくらか。
で水平方向に打ち出し、静止した台車に落下させた。鉄球が上板に衝突する瞬間に、電磁石を動作させて鉄球を上板に吸着させた。
の(ア)〜(コ)に適切な式を記入しなさい。ただし、(ク)には適切な不等号(≦または≧)も記入しなさい。
図1，2のように、半径Rの半円筒面を有する質量Mの台が水平でなめらかな床に静かに置かれている。質量mの小球は床の上を進み、そのあと台の円筒面を上る。円筒の最上点をA，円筒の中心をOとする。円筒面はなめらかで、床と円筒面はなめらかに接続しており、小球と台は紙面に垂直な方向には運動しないものとする。
である。この向心力は、小球が受ける重力のBO方向の分力と、小球が円筒面から受ける抗力との合力である。したがって、重力加速度の大きさをg，
とすると抗力の大きさNは、
である。このとき、台が小球から受ける力を考えると、その鉛直方向の分力の大きさFは、Nとθ を使って、
と表される。小球の初速度は図1のように右向きでその大きさは
であった。小球の力学的エネルギーが保存されることを用いて
からvを消去すると、
が得られる。(エ)は
で最小値をとり、また、小球が円筒面から離れることなく点Aに達したことから、
であったことがわかる。
で、小球が円筒面を上る間、台の全底面は床に接したままであったとする。この小球が点Bを通過するときのFは、
と
により、vと
を使わずに、
と表すことができる。(カ)は
で最大値をとる。また、台の全底面が床と接したままであったことから、台が受ける力の鉛直方向成分を考えると、小球の質量mが不等式
を満たしていたことがわかる。
の小球は、台の円筒面を点Cまで上り、そこから円筒面を下った。なお
(ただし
)とする。小球が点Cに達したとき、床に対する台の速度はVだった。小球と台を合わせた全運動量が保存されることを用いると
が得られる。そのあと小球は円筒面を下り、台から離れた。このときの床に対する台の速度は
である。