慶大理工物理'11年[1]
以下の文章中の
の(ア)～(コ)に適切な式を記入しなさい。ただし、(ク)には適切な不等号(≦または≧)も記入しなさい。
図1，2のように、半径Rの半円筒面を有する質量Mの台が水平でなめらかな床に静かに置かれている。質量mの小球は床の上を進み、そのあと台の円筒面を上る。円筒の最上点をA，円筒の中心をOとする。円筒面はなめらかで、床と円筒面はなめらかに接続しており、小球と台は紙面に垂直な方向には運動しないものとする。
図1のように台は床に固定された鉛直な壁に接して置かれており、台と壁が接している面はともになめらかである。小球は円筒面から離れることなく点Aまで上り、この間、台の全底面と床は接したままだった。点Bでの小球の速さをvとすると、円運動する小球が受ける向心力の大きさは
である。この向心力は、小球が受ける重力のBO方向の分力と、小球が円筒面から受ける抗力との合力である。したがって、重力加速度の大きさをg，
とすると抗力の大きさNは、
である。このとき、台が小球から受ける力を考えると、その鉛直方向の分力の大きさFは、Nとθ を使って、
と表される。小球の初速度は図1のように右向きでその大きさは
であった。小球の力学的エネルギーが保存されることを用いて
からvを消去すると、
が得られる。(エ)は
で最小値をとり、また、小球が円筒面から離れることなく点Aに達したことから、
であったことがわかる。
(カ)～(ク)の解答にあたっては、小球の初速度が
で、小球が円筒面を上る間、台の全底面は床に接したままであったとする。この小球が点Bを通過するときのFは、
と
により、vと
を使わずに、
と表すことができる。(カ)は
で最大値をとる。また、台の全底面が床と接したままであったことから、台が受ける力の鉛直方向成分を考えると、小球の質量mが不等式
を満たしていたことがわかる。
次に図2のように壁を取り除いた場合を考えよう。速度は右向きを正とする。最初、台は静止していた。初速度が
の小球は、台の円筒面を点Cまで上り、そこから円筒面を下った。なお
(ただし
)とする。小球が点Cに達したとき、床に対する台の速度はVだった。小球と台を合わせた全運動量が保存されることを用いると
が得られる。そのあと小球は円筒面を下り、台から離れた。このときの床に対する台の速度は
である。
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解答 頻出タイプの不等速円運動の問題ですが、後半は、円筒面が動いてしまう状況を、力学的エネルギー保存、運動量保存から考える内容になっています。
(ア) 半径Rの円筒面を速さvで動く質量mの小球が受ける向心力は、
......[答]
(イ) この向心力は、小球が受ける重力のBO方向の分力
と、小球が円筒面から受ける垂直抗力Nとの合力に等しく、 ∴ 
･･･① 
......[答]
(ウ) 台が小球から受ける力の鉛直方向の分力の大きさFは、
･･･② 
......[答]
(エ) 重力の位置エネルギーの基準を床面にとると、小球が床の上にあるときの力学的エネルギーは、運動エネルギーの
だけです。点Bでの力学的エネルギーは、運動エネルギーの
と位置エネルギー
です。力学的エネルギー保存より、 ∴ 
①に代入して、 
･･･③
......[答]
(オ) (エ)のNは
のとき(点Aに来たとき)、最小値
をとります。 小球が円筒面から離れることなく点Aに達するのであれば、小球が受ける垂直抗力Nは、つねに
です。よって、 ∴ 
......[答]
(カ) ③で
とすると、 Bを通過するときのFは、②より、
......[答]
(キ) (カ)の結果より、
......[答]
(ク) このとき、台が床面から受ける垂直抗力を
として、台が受ける力の鉛直方向のつりあいから、 台が床面と接したままであったことから、
∴ 
......[答]
(ケ) 小球＋台の系の最初の運動量は、小球の運動量
だけです。 小球が点Cに達したとき、小球の速度の水平成分と、台の速度はVで、小球＋台の運動量は
です。
小球＋台には、水平方向には外力が働かず、この方向では運動量保存則が成立します。これより、 ∴ 
......[答]
(コ) 小球が台から離れた後の台の速度を
とします。力学的エネルギーが保存されることから、小球と台の運動を反発係数1の衝突と見なすと、反発係数の式より、 
∴ 
･･･④④より、
∴ 
......[答]
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