二項分布 関連問題
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3回サイコロを投げて1の目が出る回数をXとすると、反復試行の公式より、
となる確率
，
，
，
は、
となるので、以下の確率分布の表が得られます。
一般的に、1回の試行において、事象Aが起こる確率を
(
)として、
(
とします)，n回試行を行うとき、n回中k回事象Aが起こる確率
は、反復試行の公式より、
･･･①
但し、
より、
(二項定理を参照)に注意してください。
表(＊)の確率分布を二項分布と言い、
と表します。
n回の試行のうちで事象Aが起こる回数をXとすると、確率変数Xは二項分布
に従います。
3個のサイコロを投げて1の目が出たサイコロの個数をXとする確率分布は、二項分布
になります。
二項分布
に従う確率変数Xの平均
は、①を用いて定義通りに計算すると、
･･･②
，xで微分すると、
ここで、
とすると、
∴ 
(左側のイコールは、
の中の
は
のとき0なので、
と
とで等しくなることに注意)
これを②に代入して、
より、
もっとも、k回目の試行において、事象Aが起こるときに1、起こらないときに0となる確率変数を
とすると、
はn回の試行の中で事象Aが起こる回数です。
であって、「和の期待値は期待値の和」を用いると、
と簡単に
を求められます。
二項分布
に従う確率変数Xの分散
は、分散の公式
を用いて求めようとすると、
が問題です。
より、
「和の期待値は期待値の和」を用いると、
･･･③
･･･④ です。
また、1回目の試行と2回目の試行について、
となるのは
の場合だけでその確率は
，他は
でその確率は
なので、
，他の
，･･･，
，
，･･･，
も同様に、
，
，･･･，
，
，･･･，
は、全部で、異なるn個から2個を選ぶ組み合わせの数
個あるので、
･･･⑤
だったので、これより、
となります。
これも、
と同様に、n回の試行の各回について、
となるので、n回の試行の各回が互いに独立であることを考えると(同時分布を参照)、
とすれば簡単に求められます。
標準偏差は、
となります。
確率変数Xについて、
(
)となる確率が
となる確率分布を二項分布と言い、
と表す。
確率変数Xが二項分布
に従うとき、
として、
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，
，
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，分散：
，標準偏差：