共通テスト数学IA '23年第1問
[1] 実数xについての不等式
の解は
である。
よって、実数a，b，c，dが
を満たしているとき、
は負であることに注意すると、
のとり得る値の範囲は であることがわかる。
特に
･･･①であるとき、さらに
･･･②が成り立つならば
･･･③であることが、等式①，②，③の左辺を展開して比較することによりわかる。
[2](1) 点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A，Bを
となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A，Bとは異なる点Cをとる。
(i) 
である。また、点Cを
が鈍角となるようにとるとき、
である。
(ii) 点Cを△ABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、
である。また、△ABCの面積は
である。 
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(2) 半径が5である球Sがある。この球面上に3点P，Q，Rをとったとき、これらの3点を通る平面α上で
，
，
であったとする。 球Sの球面上に点Tを三角錐TPQRの体積が最大となるようにとるとき、その体積を求めよう。
まず、
であることから、△PQRの面積は
である。
次に、点Tから平面αに垂直な直線を引き、平面αとの交点をHとする。このとき、PH，QH，RHの長さについて、
が成り立つ。
以上より、三角錐TPQRの体積は
である。
の解答群
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解答 前半は、展開してみると、というヒントがあるので何でもないでしょう。後半は、空間図形とは言っても、球の中心から球面上の3点を結んでできる三角形に垂線を下ろすと外心に来ることを知っていれば、正弦定理・余弦定理を使うのみで解決します。
∴ 
アイ 
......[答] ウエ 
......[答] ④のxを
として、
より、
，つまり、
オ 2 カ 2 キ 4 ク 4 ......[答]
，
であるとき、辺々引くことにより、 ケ 7 コ 3 ......[答]
[2](1)(i) △ACBの外接円が円Oであることと、正弦定理より、 
∴ 
サ0 ......[答]
(三角比を参照) シ 7 .......[答](ii) 点Cを△ABCの面積が最大となるようにとるとき、△ABCは
である二等辺三角形で、点Cから直線ABに垂線ADを下ろすとDは、ABの中点です。
，
より、 
ス 4 ......[答]
より、△ABCの面積は、
セソ 27 ......[答]
タ 5 チ 6 ......[答]
△PQRの面積は、
ツ 6 テト 11 ......[答]点Tから平面αに垂直な直線を引き、平面αとの交点をHとすると、点Hは△PQRの外心です。つまり、
です。 ナ 6 ......[答]△PQRの外接円の半径をrとすると、正弦定理より、 
∴ 
球Sの中心をSとして、三角錐TPQRの体積が最大となるとき、T，S，Hは一直線上に並びます。三角錐TPQRの高さTHは、
三角錐TPQRの体積は、
ニヌ 10 ネノ 11 ハ 2 ......[答]
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