共通テスト数学IA '23年第1問 

[1] 実数xについての不等式
の解は
である。
よって、実数
abcd
を満たしているとき、は負であることに注意すると、のとり得る値の範囲は
であることがわかる。
特に
 ・・・@
であるとき、さらに
 ・・・A
が成り立つならば
 ・・・B
であることが、等式@,A,Bの左辺を展開して比較することによりわかる。

[2](1) Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2ABとなるようにとる。また、円Oの円周上に、2ABとは異なる点Cをとる。

(i) である。また、点Cが鈍角となるようにとるとき、である。

(ii) Cを△ABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、である。また、△ABCの面積はである。

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
          1   
             

(2) 半径が5である球Sがある。この球面上に3PQRをとったとき、これらの3点を通る平面α上でであったとする。
Sの球面上に点Tを三角錐TPQRの体積が最大となるようにとるとき、その体積を求めよう。
まず、であることから、△
PQRの面積はである。
次に、点
Tから平面αに垂直な直線を引き、平面αとの交点をHとする。このとき、PHQHRHの長さについて、が成り立つ。
以上より、三角錐
TPQRの体積はである。

の解答群
    
    
    
 

解答 前半は、展開してみると、というヒントがあるので何でもないでしょう。後半は、空間図形とは言っても、球の中心から球面上の3点を結んでできる三角形に垂線を下ろすと外心に来ることを知っていれば、正弦定理・余弦定理を使うのみで解決します。

[1]   ・・・C ∴  アイ ......[] ウエ ......[]
Cのxとして、
より、,つまり、 オ
2 カ 2 キ 4 ク 4 ......[]
であるとき、辺々引くことにより、

7 コ 3 ......[]

[2](1)(i) ACBの外接円が円Oであることと、正弦定理より、
 ∴  サ0 ......[]
 シ 7 .......[]
(ii) Cを△ABCの面積が最大となるようにとるとき、△ABCである二等辺三角形で、点Cから直線ABに垂線ADを下ろすとOは、ABの中点です。より、
 ス 4 ......[]
より、△ABCの面積は、 セソ 27 ......[]

(2) PQRに余弦定理を適用して、
 タ 5 チ 6 ......[]
PQRの面積は、 ツ 6 テト 11 ......[]
Tから平面αに垂直な直線を引き、平面αとの交点をHとすると、点Hは△PQRの外心です。つまり、です。 ナ 6 ......[]
PQRの外接円の半径をrとすると、正弦定理より、
 ∴
Sの中心をSとして、三角錐TPQRの体積が最大となるとき、TSHは一直線上に並びます。三角錐TPQRの高さTHは、
三角錐TPQRの体積は、
ニヌ
10 ネノ 11 ハ 2 ......[]



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