大学入学共通テスト数学IA 2024年問題　


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[1][1]　不等式
　･･･①
を満たす整数nはである。実数a，bを
　･･･②
　･･･③
で定める。このとき
　･･･④
である。また
である。
①から
　･･･⑤
が成り立つ。
太郎さんと花子さんは、について話している。

太郎：⑤からのおよその値がわかるけど、小数点以下はよくわからないね。
花子：小数点以下をもう少し詳しく調べることができないかな。

①と④から
を満たす整数mはとなる。よって、③から
　･･･⑥
が成り立つ。
の整数部分はであり、②と⑥を使えばの小数第1位の数字は，小数第2位の数字はであることがわかる。

[2]　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて問題末の三角比の表を用いてもよい。
水平な地面(以下、地面)に垂直に立っている電柱の高さを、その影の長さと太陽高度を利用して求めよう。
図1のように、電柱の影の先端は坂の斜面(以下、坂)にあるとする。また、坂には傾斜を表す道路標識が設置されていて、そこには7%と表示されているとする。
電柱の太さと影の幅は無視して考えるものとする。また、地面と坂は平面であるとし、地面と坂が交わってできる直線をとする。
電柱の先端を点Aとし、根もとを点Bとする。電柱の影について、地面にある部分を線分BCとし、坂にある部分を線分CDとする。線分BC，CDがそれぞれと垂直であるとき、電柱の影は坂に向ってまっすぐにのびているということにする。
電柱の影が坂に向ってまっすぐにのびているとする。このとき、4点A，B，C，Dを通る平面はと垂直である。その平面において、図2のように、直線ADと直線BCの交点をPとすると、太陽高度とはの大きさのことである。
道路標識の7%という表示は、この坂をのぼったとき、100mの水平距離に対いて7mの割合で高くなることを示している。nを1以上9以下の整数とするとき、坂の傾斜角の大きさについて
を満たすnの値はである。
以下では、の大きさは、ちょうどであるとする。
ある日、電柱の影が坂に向ってまっすぐにのびていたとき、影の長さを調べたところ，であり、太陽高度はであった。点Dから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をEとするとき
であり
である。よって、電柱の高さは、小数第2位で四捨五入するとであることがわかる。

，の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
　　　　　　　
　　　　　　　

の解答群
　10.4　　　10.7　　　11.0
　11.3　　　11.6　　　11.9

別の日、電柱の影が坂に向ってまっすぐにのびていたときの太陽高度はであった。電柱の高さがわかったので、前回調べた日からの影の長さの変化を知ることができる。電柱の影について、坂にある部分の長さは
である。として、これを計算することにより、この日の電柱の影について、坂にある部分の長さは、前回調べた4mより約1.2mだけ長いことがわかる。

，の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
　　　　　　　
　　　　　　　

三角比の表
角正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)　角正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)
0°0.00001.00000.0000　45°0.70710.70711.0000
1°0.01750.99980.0175　46°0.71930.69471.0355
2°0.03490.99940.0349　47°0.73140.68201.0724
3°0.05230.99860.0524　48°0.74310.66911.1106
4°0.06980.99760.0699　49°0.75470.65611.1504
5°0.08720.99620.0875　50°0.76600.64281.1918
6°0.10450.99450.1051　51°0.77710.62931.2349
7°0.12190.99250.1228　52°0.78800.61571.2799
8°0.13920.99030.1405　53°0.79860.60181.3270
9°0.15640.98770.1584　54°0.80900.58781.3764
10°0.17360.98480.1763　55°0.81920.57361.4281
11°0.19080.98160.1944　56°0.82900.55921.4826
12°0.20790.97810.2126　57°0.83870.54461.5399
13°0.22500.97440.2309　58°0.84800.52991.6003
14°0.24190.97030.2493　59°0.85720.51501.6643
15°0.25880.96590.2679　60°0.86600.50001.7321
16°0.27560.96130.2867　61°0.87460.48481.8040
17°0.29240.95630.3057　62°0.88290.46951.8807
18°0.30900.95110.3249　63°0.89100.45401.9626
19°0.32560.94550.3443　64°0.89880.43842.0503
20°0.34200.93970.3640　65°0.90630.42262.1445
21°0.35840.93360.3839　66°0.91350.40672.2460
22°0.37460.92720.4040　67°0.92050.39072.3559
23°0.39070.92050.4245　68°0.92720.37462.4751
24°0.40670.91350.4452　69°0.93360.35842.6051
25°0.42260.90630.4663　70°0.93970.34202.7475
26°0.43840.89880.4877　71°0.94550.32562.9042
27°0.45400.89100.5095　72°0.95110.30903.0777
28°0.46950.88290.5317　73°0.95630.29243.2709
29°0.48480.87460.5543　74°0.96130.27563.4874
30°0.50000.86600.5774　75°0.96590.25883.7321
31°0.51500.85720.6009　76°0.97030.24194.0108
32°0.52990.84800.6249　77°0.97440.22504.3315
33°0.54460.83870.6494　78°0.97810.20794.7046
34°0.55920.82900.6745　79°0.98160.19085.1446
35°0.57360.81920.7002　80°0.98480.17365.6713
36°0.58780.80900.7265　81°0.98770.15646.3138
37°0.60180.79860.7536　82°0.99030.13927.1154
38°0.61570.78800.7813　83°0.99250.12198.1443
39°0.62930.77710.8098　84°0.99450.10459.5144
40°0.64280.76600.8391　85°0.99620.087211.4301
41°0.65610.75470.8693　86°0.99760.069814.3007
42°0.66910.74310.9004　87°0.99860.052319.0811
43°0.68200.73140.9325　88°0.99940.034928.6363
44°0.69470.71930.9657　89°0.99980.017557.2900
45°0.70710.70711.0000　90°1.00000.0000－

[解答へ]

[2][1]　座標平面上に4点O，A，B，Cを頂点とする台形OABCがある。また、この座標平面上で、点P，点Qは次の規則に従って移動する。

－規則－－－－－－－－－－－－－
・Pは、Oから出発して毎秒1の一定の速さでx軸上を正の向きにAまで移動し、Aに到達した時点で移動を終了する。
・Qは、Cから出発してy軸上を負の向きにOまで移動し、Oに到達した後はy軸上を正の向きにCまで移動する。そして、Cに到達した時点で移動を終了する。ただし、Qは毎秒2の一定の速さで移動する。
・P，Qは同時刻に移動を開始する。
－－－－－－－－－－－－－－－－

この規則に従ってP，Qが移動するとき、P，QはそれぞれA，Cに同時刻に到達し、移動を終了する。
以下において、P，Qが移動を開始する時刻を開始時刻、移動を終了する時刻を終了時刻とする。

(1) 開始時刻から1秒後の△PBQの面積はである。

(2) 開始時刻から3秒間の△PBQの面積について、面積の最小値はであり、最大値はである。

(3) 開始時刻から終了時刻までの△PBQの面積について、面積の最小値はであり、最大値はである。

(4) 開始時刻から終了時刻までの△PBQの面積について、面積が10以下となる時間は秒間である。

[2]　高校の陸上部で長距離競技の選手として活躍する太郎さんは、長距離競技の公認記録を調査した。調査したある長距離競技での公認記録を、その選手のその競技でのベストタイムということにする。

(1) 太郎さんは、競技Xの日本人選手の2022年末時点でのベストタイムを調べた。その中で、2018年より前にベストタイムを出した選手と2018年以降にベストタイムを出した選手に分け、それぞれにおいて速い方から50人の選手のベストタイムをデータA，データBとした。

(i) 図1と図2はそれぞれ、階級の幅を30秒としたAとBのヒストグラムである。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。
図1からAの最頻値は階級の階級値である。また、図2からBの中央値が含まれる階級はである。

，の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
　270以上300未満　　　300以上330未満
　330以上360未満　　　360以上390未満
　390以上420未満　　　420以上450未満
　450以上480未満　　　480以上510未満
　510以上540未満　　　540以上570未満
(ii) 図3は、A，Bそれぞれの箱ひげ図を並べたものである。ただし、中央値を示す線は省いている。

図3より次のことが読み取れる。ただし、A，Bそれぞれにおける、速い方から13番目の選手は一人ずつとする。

・Bの速い方から13番目の選手のベストタイムは、Aの速い方から13番目の選手のベストタイムより、およそ秒速い。
・Aの四分位範囲からBの四分位範囲を引いた差の絶対値はである。

については、最も適当なものを、次の～のうちから一つ選べ。
　5　　　15　　　25　　　35　　　45　　　55

の解答群
　0以上20未満
　20以上40未満
　40以上60未満
　60以上80未満
　80以上100未満
(iii) 太郎さんは、Aのある選手とBのある選手のベストタイムの比較において、その二人の選手のベストタイムが速いか遅いかとは別の観点でも考えるために、次の式を満たすzの値を用いて判断することにした。


－式－－－－－－－－－－－－－－
(あるデータのある選手のベストタイム)＝
　　　(そのデータの平均値)＋z×(そのデータの標準偏差)
－－－－－－－－－－－－－－－－

二人の選手それぞれのベストタイムに対するzの値を比較し、その値の小さい選手の方が優れていると判断する。
表1は、A，Bそれぞれにおける、速い方から1番目の選手(以下、1位の選手)のベストタイムと、データの平均値と標準偏差をまとめたものである。
表1 　1位選手のベストタイム、平均値、標準偏差
データ1位の選手のベストタイム平均値標準偏差
A37650440
B29645445

式と表1を用いると、Bの1位の選手に対するベストタイムに対するzの値は
である。このことから、Bの1位の選手のベストタイムは、平均値より標準偏差のおよそ倍だけ小さいことがわかる。
A，Bそれぞれにおける、1位の選手についての記述として、次の～のうち、正しいものはである。

の解答群
　ベストタイムで比較するとAの1位の選手の方が速く、zの値で比較するとAの1位の選手の方が優れている。
　ベストタイムで比較するとBの1位の選手の方が速く、zの値で比較するとBの1位の選手の方が優れている。
　ベストタイムで比較するとAの1位の選手の方が速く、zの値で比較するとBの1位の選手の方が優れている。
　ベストタイムで比較するとBの1位の選手の方が速く、zの値で比較するとAの1位の選手の方が優れている。
(2) 太郎さんは、競技X，競技Y，競技Zのベストタイムに関連がないかを調べることにした。そのために、2022年末時点でのこれら3種目のベストタイムをすべて確認できた日本人男子選手のうち、競技Xのベストタイムが速い方から50人を選んだ。

図4と図5はそれぞれ、選んだ50人についての競技Xと競技Yのベストタイム、競技Zと競技Yのベストタイムの散布図である。ただし、なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。
次の(a)，(b)は、図4と図5に関する記述である。

(a) 競技Xのベストタイムの速い方から3番目までの選手の競技Yのベストタイムは、3選手とも1670秒未満である。
(b) 競技Xと競技Yの間の相関は、競技Zと競技Yの間の相関より強い。

(a)，(b)の正誤の組み合わせとして正しいものはである。

の解答群
　
(a)正正誤誤
(b)正誤正誤
注．共通テストの実際の問題文は、当塾とは無関係の私的企業の私的サイトから作問しているように書かれているため、著作権法上、本ウェブサイトにそのまま掲載することができません。問題文を大幅に改変したため、わかりづらくなっていることお詫び申し上げます。
[解答へ]

[3]　箱の中にカードが2枚以上入っており、それぞれのカードにはアルファベットが1文字だけ書かれている。この箱の中からカードを1枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行を繰り返し行う。

(1) 箱の中に，のカードが1枚ずつ全部で2枚入っている場合を考える。
以下では、2以上の自然数nに対し、n回の試行でA，Bがそろっているとは、n回の試行で，のそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
(i) 2回の試行でA，Bがそろっている確率はである。
(ii) 3回の試行でA，Bがそろっている確率を求める。
例えば、3回の試行のうちを1回、を2回取り出す取り出し方は3通りあり、それらをすべて挙げると次のようになる。
1回目2回目3回目

このように考えることにより、3回の試行でA，Bがそろっている取り出し方は通りあることがわかる。よって、3回の試行でA，Bがそろっている確率はである。
(iii) 4回の試行でA，Bがそろっている取り出し方は通りある。よって、4回の試行でA，Bがそろっている確率はである。

(2) 箱の中に，，のカードが1枚ずつ全部で3枚入っている場合を考える。
以下では、3以上の自然数nに対し、n回目の試行で初めてA，B，Cがそろうとは、n回の試行で，，のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ，，のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
(i) 3回目の試行で初めてA，B，Cがそろう取り出し方は通りある。よって、3回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率はである。
(ii) 4回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率を求める。
4回目の試行で初めてA，B，Cがそろう取り出し方は、(1)の(ii)を振り返ることにより、通りあることがわかる。よって、4回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率はである。
(iii) 5回目の試行で初めてA，B，Cがそろう取り出し方は通りある。よって、5回目の試行で初めてA，B，Cがそろう確率はである。

(3) 箱の中に，，，のカードが1枚ずつ全部で4枚入っている場合を考える。
以下では、6回目の試行で初めてA，B，C，Dがそろうとは、6回の試行で，，，のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ，，，のうちいずれか1枚が6回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
また、3以上5以下の自然数nに対し、6回の試行のうちn回目の試行で初めてA，B，Cだけがそろうとは、6回の試行のうち1回目からn回目の試行で、，，のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、は1回も取り出されず、かつ，，のうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。6回の試行のうちn回目の試行で初めてB，C，Dだけがそろうなども同様に定める。
太郎さんと花子さんは、6回目の試行で初めてA，B，C，Dがそろう確率について考えている。

太郎：例えば、5回目までに，，のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ6回目に初めてが取り出さる場合を考えたら計算できそうだね。
花子：それなら、初めてA，B，Cだけがそろうのが、3回目のとき、4回目のとき、5回目のときで分けて考えてみてはどうかな。

6回の試行のうち3回目の試行で初めてA，B，Cだけがそろう取り出し方が通りであることに注意すると、「6回の試行のうち3回目の試行で初めてA，B，Cだけがそろい、かつ6回目の試行で初めてが取り出される」取り出し方は通りあることがわかる。
同じように考えると、「6回の試行のうち4回目の試行で初めてA，B，Cだけがそろい、かつ6回目の試行で初めてが取り出される」取り出し方は通りあることもわかる。
以上のように考えることにより、6回目の試行で初めてA，B，C，Dがそろう確率はであることがわかる。
[解答へ]

[4]　T3，T4，T6を次のようなタイマーとする。
T3：3進数を3桁表示するタイマー
T4：4進数を3桁表示するタイマー
T6：6進数を3桁表示するタイマー
なお、n進数とはn進法で表された数のことである。
これらのタイマーは、すべて次の表示方法に従うものとする。

－表示方法－－－－－－－－－－－
(a) スタートした時点でタイマーは000と表示されている。
(b) タイマーは、スタートした後、表示される数が1秒ごとに1ずつ増えていき、3桁で表示できる最大の数が表示された1秒後に、表示が000に戻る。
(c) タイマーは表示が000に戻った後も、(b)と同様に、表示される数が1秒ごとに1ずつ増えていき、3桁で表示できる最大の数が表示された1秒後に、表示が000に戻るという動作を繰り返す。
－－－－－－－－－－－－－－－－

例えば、T3はスタートしてから3進数で秒後に012と表示される。その後、222と表示された1秒後に表示が000に戻り、その秒後に再び012と表示される。
(1) T6は、スタートしてから10進数で40秒後にと表示される。
T4は、スタートしてから2進数で秒後にと表示される。

(2) T4をスタートさせた後、初めて表示が000に戻るのは、スタートしてから10進数で秒後であり、その後も秒ごとに表示が000に戻る。
同様の考察をT6に対しても行うことにより、T4とT6を同時にスタートさせた後、初めて両方の表示が同時に000に戻るのは、スタートしてから10進数で秒後であることがわかる。

(3) 0以上の整数に対して、T4をスタートさせた秒後にT4が012と表示されることと
をで割った余りがであること
は同値である。ただし、とは10進法で表されているものとする。
T3についても同様の考察を行うことにより、次のことがわかる。
T3とT4を同時にスタートさせてから、初めて両方が012と表示されるまでの時間をm秒とするとき、mは10進数でと表される。
また、T4とT6の表示に関する記述として、次の～のうち、正しいものはである。

の解答群
　T4とT6を同時にスタートさせてから、m秒後より前に初めて両方が同時に012と表示される。
　T4とT6を同時にスタートさせてから、ちょうどm秒後に初めて両方が同時に012と表示される。
　T4とT6を同時にスタートさせてから、m秒後より後に初めて両方が同時に012と表示される。
　T4とT6を同時にスタートさせてから、両方が同時に012と表示されることはない。
[解答へ]

[5]　図1のように、平面上に5点A，B，C，D，Eがあり、線分AC，CE，EB，BD，DAによって、星形の図形ができるときを考える。線分ACとBEの交点をP，ACとBDの交点をQ，BDとCEの交点をR，ADとCEの交点をS，ADとBEの交点をTとする。
ここでは
AP：PQ：QC = 2：3：3，AT：TS：SD = 1：1：3
を満たす星形の図形を考える。
以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。

(1) △AQDと直線CEに着目すると
が成り立つので
QR：RD = ：
となる。また、△AQDと直線BEに着目すると
QB：BD = ：
となる。したがって
BQ：QR：RD = ：：
となることがわかる。

の解答群
　AC　　　AP　　　AQ　　　CP　　　PQ

(2) 5点P，Q，R，S，Tが同一円周上にあるとし、であるとする。
(i) 5点A，P，Q，S，Tに着目すると、AT：AS = 1：2よりとなる。さらに、5点D，Q，R，S，Tに着目するととなることがわかる。
(ii) 3点A，B，Cを通る円と点Dとの位置関係を、次の構想に基づいて調べよう。

－構想－－－－－－－－－－－－－
線分ACとBDの交点Qに着目し、との大小を比べる。
－－－－－－－－－－－－－－－－

まず、かつであることから
　･･･①
が成り立つ。また、3点A，B，Cを通る円と直線BDとの交点のうち、Bと異なる点をXとすると
　･･･②
が成り立つ。①と②の左辺は同じなので、①と②の右辺を比べることにより、が得られる。したがって、点Dは3点A，B，Cを通る円のにある。

～の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
　＜　　　＝　　　＞

の解答群
　内部　　　周上　　　外部

(iii) 3点C，D，Eを通る円と2点A，Bとの位置関係について調べよう。
この星形の図形において、さらにとなることがわかる。したがって、点Aは3点C，D，Eを通る円のにあり、点Bは3点C，D，Eを通る円のにある。

，の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
　内部　　　周上　　　外部
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