　大学入学共通テスト数学IIB 2022年問題　

　大学入学共通テスト数学IIB 2022年問題　

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[1][1]　座標平面上に点A

をとる。また、不等式

の表す領域をDとする。

(1) 領域Dは、中心が点

，半径が

の円の

である。

の解答群

　周　　

　内部　　

　外部

　周および内部　　

　周および外部

以下、点

をQとし、方程式

の表す図形をCとする。

(2) 点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。

(i) (1)により、直線

は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。

太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線を

とする。

太郎：直線

の方程式は

と表すことができるから、これを

に代入することで接線を求められそうだね。

花子：x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。

(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。

を

に代入すると、xについての2次方程式

が得られる。この方程式が

のときのkの値が接線の傾きとなる。

の解答群

　重解をもつ

　異なる二つの実数解をもち、一つは0である

　異なる二つの正の実数解をもつ

　正の実数解と負の実数解をもつ

　異なる二つの負の実数解をもつ

　異なる二つの虚数解をもつ

(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。

x軸と直線AQのなす角をθ (

)とすると

であり、直線

と異なる接線の傾きは

と表すことができる。

の解答群

(iv) 点Aを通るCの接線のうち、直線

と異なる接線の傾きを

とする。このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより

であることがわかる。
直線

と領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は

である。

の解答群

[2]　a，bは正の実数であり、

，

を満たすとする。太郎さんは

，

の大小関係を調べることにした。

(1) 太郎さんは次のような考察をした。

まず、

，

である。この場合

が成り立つ。
一方、

，

である。この場合

が成り立つ。

(2) ここで

　･･･①

とおく。
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しいことを確かめることにした。

　･･･②

①により、

である。このことより

が得られ、②が成り立つことが確かめられる。

の解答群

(3) 次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして

　･･･③

を満たす実数t (

)の値の範囲を求めた。

太郎さんの考察

ならば、③の両辺にt を掛けることにより、

を得る。このようなt (

)の値の範囲は

である。

ならば、③の両辺にt を掛けることにより、

を得る。このようなt (

)の値の範囲は

である。

この考察により、③を満たすt (

)の値の範囲は

，

であることがわかる。
ここで、aの値を一つ定めたとき、不等式

　･･･④

を満たす実数b (

，

)の値の範囲について考える。
④を満たすbの値の範囲は、

のときは

であり、

のときは

である。

の解答群

，

の解答群

，

(4)

，

とする。

～

のうち、正しいものは

である。

の解答群

かつ

[解答へ]

[2][1]　aを実数とし、

とおく。

(1)

のグラフの概形は

のとき、

である。

，

については、最も適当なものを、右図の

～

のうちから一つずつ選べ、ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(2)

とし、pを実数とする。座標平面上の曲線

と直線

が3個の共有点をもつようなpの値の範囲は

である。

のとき、曲線

と直線

は2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r (

)とする。曲線

と直線

が点

で接することに注意すると

，

と表せる。

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)

(3) 方程式

の異なる実数解の個数をnとする。次の

～

のうち、正しいものは

と

である。

，

の解答群(解答の順序は問わない)

ならば

[2]　

とし、

，

とおく。座標平面上の曲線

を

，曲線

を

とする。

と

は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β (

)とすると、

，

である。

の範囲で

と

で囲まれた図形の面積をSとする。また、

とし、

の範囲で

と

および
直線

で囲まれた図形の面積をTとする。
このとき

であるので

が得られる。
したがって、

となるのは

のときである。

～

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)

[解答へ]

[3]　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて41ページの正規分布表を用いてもよい。

ジャガイモを栽培し販売している会社に勤務する花子さんは、A地区とB地区で収穫されるジャガイモについて調べることになった。

(1) A地区で収穫されるジャガイモには1個の重さが200gを超えるものが25％含まれることが経験的にわかっている。花子さんはA地区で収穫されたジャガイモから400個を無作為に抽出し、重さを計測した。そのうち、重さが200gを超えるジャガイモの個数を表す確率変数をZとする。このときZは二項分布

に従うから、Zの平均(期待値)は

である。

(2) Zを(1)の確率変数とし、A地区で収穫されたジャガイモ400個からなる標本において、重さが200gを超えていたジャガイモの標本における比率を

とする。このとき、Rの標準偏差は

である。

標本の大きさ400は十分に大きいので、Rは近似的に正規分布

に従う。
したがって、

となるようなxの値は

となる。ただし、

の計算においては

とする。

の解答群

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

(3) B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さは100gから300gの間に分布している。B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さを表す確率変数をXとするとき、Xは連続型確率変数であり、Xのとり得る値xの範囲は

である。

花子さんは、B地区で収穫され、出荷される予定のすべてのジャガイモのうち、重さが200g以上のものの割合を見積もりたいと考えた。そのために花子さんは、Xの確率密度関数

として適当な関数を定め、それを用いて割合を見積もるという方針を立てた。

B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモから206個を無作為に抽出したところ、重さの標本平均は180gであった。図1はこの標本のヒストグラムである。
花子さんは図1のヒストグラムにおいて、重さxの増加とともに度数がほぼ一定の割合で減少している傾向に着目し、Xの確率密度関数

として、1次関数

　(

)

を考えることにした。ただし、

の範囲で

とする。
このとき、

であることから

　･･･①

である。
花子さんは、Xの平均(期待値)が重さの標本平均180gと等しくなるように確率密度を定める方法を用いることにした。
連続型確率密度変数Xのとり得る値xの範囲が

で、その確率密度関数が

のとき、Xの平均(期待値)mは

で定義される。この定義と花子さんの採用した方法から

　･･･②

となる。①と②により、確率密度関数は

　･･･③

と得られる。このようにして得られた③の

は、

の範囲で

を満たしており、確かに確率密度関数として適当である。
したがって、この花子さんの方針に基づくと、B地区で収穫され、出荷される予定のすべてのジャガイモのうち、重さが200g以上のものは

％あると見積もることができる。

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

正規分布表

次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990

[解答へ]

[4]　以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみなす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置yにあるということにする。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は時刻2に自宅を出発し、正の向きに毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追いかける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。