共通テスト数学IIB '22年第2問
[1] aを実数とし、とおく。
(1) のグラフの概形は である。
,については、最も適当なものを、右図の〜のうちから一つずつ選べ、ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(2) とし、pを実数とする。座標平面上の曲線と直線が3個の共有点をもつようなpの値の範囲はである。 のとき、曲線と直線は2個の共有点をもつ。それらのx座標をq,r ()とする。曲線と直線が点で接することに注意すると , と表せる。
,の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
(3) 方程式の異なる実数解の個数をnとする。次の〜のうち、正しいものはとである。 ,の解答群(解答の順序は問わない) ならば ならば
ならば ならば
ならば ならば
[2] とし、,とおく。座標平面上の曲線を,曲線をとする。 とは2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα,β ()とすると、,である。
の範囲でとで囲まれた図形の面積をSとする。また、とし、の範囲でとおよび
直線で囲まれた図形の面積をTとする。
このとき であるので
が得られる。
したがって、となるのはのときである。
〜の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
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解答 最後のところはやや計算が面倒で、簡便な方法で済ませないと完答は難しくなります。
[1] (1) のとき、,より、において接線の傾きが0で、それ以外では接線の傾きは正です。そうなっているグラフは。 ア 1 ......[答]のとき、,より、つねに接線の傾きは正です。そうなっているグラフは。
イ 0 ......[答] (2) のとき、 より、増減表は、これより、曲線と直線が3個の共有点をもつのは、 オ − カ 2 キ 2 ク 2 ......[答]
(3) (1)よりならばです。ですが、のときにもです。であっても、であればです。ですが、であればです。 ケ 1 コ 4 ......[答]
との方程式を連立すると、 サ b シ 2b ......[答],つまり、においては,
においては、
よって、 チツ −1 テ 6 ト 9 ナニ 12 ヌ 5 ......[答]とすると、 なので、
ネ 5 ノ 2 ......[答] 注.最後のチツテトナニヌのところはの式のbの入り方から見て、として計算し、 として計算するとよいでしょう。
とおくと、 (定積分と微分を参照)の解がで、ここで、は極値をとります。3次方程式のb以外の解をc,3次方程式の以外の解をdとして、d,b,,,cが等間隔に並ぶこと(3次関数のグラフを参照)を知っていれば、となるt はなので、ほぼ計算なしで、であることがわかります。
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