共通テスト数学IIB '22年第2問
[1] aを実数とし、
とおく。
(1) 
のグラフの概形はである。
，
については、最も適当なものを、右図の
〜
のうちから一つずつ選べ、ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(2) 
とし、pを実数とする。座標平面上の曲線
と直線
が3個の共有点をもつようなpの値の範囲は
である。 
のとき、曲線
と直線
は2個の共有点をもつ。それらのx座標をq，r (
)とする。曲線
と直線
が点
で接することに注意すると
，
と表せる。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい) 
(3) 方程式
の異なる実数解の個数をnとする。次の〜のうち、正しいものは
と
である。 
，
の解答群(解答の順序は問わない) 
ならば
ならば
ならば
ならば
ならば
ならば
[2] 
とし、
，
とおく。座標平面上の曲線
を
，曲線
を
とする。 
と
は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれα，β (
)とすると、
，
である。
の範囲で
と
で囲まれた図形の面積をSとする。また、
とし、
の範囲で
と
および
直線
で囲まれた図形の面積をTとする。
このときであるので
が得られる。
したがって、
となるのは
のときである。
〜
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
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解答 最後のところはやや計算が面倒で、簡便な方法で済ませないと完答は難しくなります。
[1] 
(1) 
のとき、
，
より、
において接線の傾きが0で、それ以外では接線の傾きは正です。そうなっているグラフは。 ア 1 ......[答]
のとき、
，
より、つねに接線の傾きは正です。そうなっているグラフは。
イ 0 ......[答] (2) 
のとき、 より、増減表は、これより、曲線
と直線
が3個の共有点をもつのは、 オ − カ 2 キ 2 ク 2 ......[答]
(3) (1)より
ならば
です。ですが、
のときにも
です。
であっても、
であれば
です。ですが、
であれば
です。 ケ 1 コ 4 ......[答]
と
の方程式を連立すると、サ b シ 2b ......[答]
，つまり、
においては
，
においては、
よって、 チツ −1 テ 6 ト 9 ナニ 12 ヌ 5 ......[答]
とすると、 
なので、
ネ 5 ノ 2 ......[答]注．最後のチツテトナニヌのところは
の式のbの入り方から見て、
として計算し、 として計算するとよいでしょう。
とおくと、
(定積分と微分を参照)の解が
で、ここで、
は極値をとります。3次方程式
のb以外の解をc，3次方程式
の
以外の解をdとして、d，b，
，
，cが等間隔に並ぶこと(3次関数のグラフを参照)を知っていれば、
となるt は
なので、ほぼ計算なしで、
であることがわかります。
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のとき、
のとき、
，
∴ 
，
，
，
：
，
：
，よって、
，
と直線
は、
において交わり、
で接します。
)
