共通テスト数学
IIB '22
年第
2
問
[1]
a
を実数とし、
とおく。
(1)
のグラフの概形は
のとき、
のとき、
である。
,
については、最も適当なものを、右図の
〜
のうちから一つずつ選べ、ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(2)
とし、
p
を実数とする。座標平面上の曲線
と直線
が
3
個の共有点をもつような
p
の値の範囲は
である。
のとき、曲線
と直線
は
2
個の共有点をもつ。それらの
x
座標を
q
,
r
(
)
とする。曲線
と直線
が点
で接することに注意すると
,
と表せる。
,
の解答群
(
同じものを繰り返し選んでもよい
)
(3)
方程式
の異なる実数解の個数を
n
とする。次の
〜
のうち、正しいものは
と
である。
,
の解答群
(
解答の順序は問わない
)
ならば
ならば
ならば
ならば
ならば
ならば
[2]
とし、
,
とおく。座標平面上の曲線
を
,曲線
を
とする。
と
は
2
点で交わる。これらの交点の
x
座標をそれぞれ
α
,
β
(
)
とすると、
,
である。
の範囲で
と
で囲まれた図形の面積を
S
とする。また、
とし、
の範囲で
と
および
直線
で囲まれた図形の面積を
T
とする。
このとき
であるので
が得られる。
したがって、
となるのは
のときである。
〜
の解答群
(
同じものを繰り返し選んでもよい
)
解答
最後のところはやや計算が面倒で、簡便な方法で済ませないと完答は難しくなります。
[1]
(1)
のとき、
,
より、
において接線の傾きが
0
で、それ以外では接線の傾きは正です。そうなっているグラフは
。
ア
1 ......[
答
]
のとき、
,
より、つねに接線の傾きは正です。そうなっているグラフは
。
イ
0 ......[
答
]
(2)
のとき、
より、増減表は、
x
+
0
−
0
+
これより、曲線
と直線
が
3
個の共有点をもつのは、
のとき。
ウ
3
エ
2 ......[
答
]
のとき、曲線
と直線
は、
において交わり、
で接します。
3
次方程式の解と係数の関係より、
,
∴
オ − カ
2
キ
2
ク
2 ......[
答
]
(3) (1)
より
ならば
です。ですが、
のときにも
です。
であっても、
であれば
です。ですが、
であれば
です。
ケ
1
コ
4 ......[
答
]
[2]
,
,
,
:
,
:
と
の方程式を連立すると、
∴
,よって、
,
サ
b
シ
2b ......[
答
]
,つまり、
においては
,
においては、
よって、
(
)
チツ −
1
テ
6
ト
9
ナニ
12
ヌ
5 ......[
答
]
とすると、
なので、
ネ
5
ノ
2 ......[
答
]
注.最後のチツテトナニヌのところは
の式の
b
の入り方から見て、
として計算し、
として計算するとよいでしょう。
とおくと、
の解が
で、ここで、
は極値をとります。
3
次方程式
の
b
以外の解を
c
,
3
次方程式
の
以外の解を
d
として、
d
,
b
,
,
,
c
が等間隔に並ぶことを知っていれば、
となる
t
は
なので、ほぼ計算なしで、
であることがわかります。
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