共通テスト数学IIB '22年第2問 

[1] aを実数とし、とおく。

(1) のグラフの概形は
のとき、
のとき、
である。

については、最も適当なものを、右図ののうちから一つずつ選べ、ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(2) とし、pを実数とする。座標平面上の曲線と直線3個の共有点をもつようなpの値の範囲はである。
のとき、曲線と直線2個の共有点をもつ。それらのx座標をqr ()とする。曲線と直線が点で接することに注意すると
と表せる。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい)
    
    
    


(3) 方程式の異なる実数解の個数をnとする。次ののうち、正しいものはである。

の解答群(解答の順序は問わない)
 ならば   ならば
 ならば   ならば
 ならば   ならば



[2] とし、とおく。座標平面上の曲線,曲線とする。

2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれαβ ()とすると、である。
の範囲でで囲まれた図形の面積を
Sとする。また、とし、の範囲でおよび
直線で囲まれた図形の面積を
Tとする。
このとき


であるので
が得られる。
したがって、となるのはのときである。


の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
    
    
    
    




解答 最後のところはやや計算が面倒で、簡便な方法で済ませないと完答は難しくなります。

[1] 
(1) のとき、より、において接線の傾きが0で、それ以外では接線の傾きは正です。そうなっているグラフは
ア 1 ......[]
のとき、より、つねに接線の傾きは正です。そうなっているグラフは
イ 
0 ......[]
(2) のとき、

より、増減表は、
x   
00

これより、曲線と直線3個の共有点をもつのは、
のとき。
ウ 
3 エ 2 ......[]
のとき、曲線と直線は、において交わり、で接します。3次方程式の解と係数の関係より、
 ∴
オ − カ 2 キ 2 ク 2 ......[]
(3) (1)よりならばです。ですが、のときにもです。であっても、であればです。ですが、であればです。
ケ 1 コ 4 ......[]

[2] 
の方程式を連立すると、
,よって、
サ b シ 2b ......[]
,つまり、においては
においては、
よって、



 ()

チツ −1 テ 6 ト 9 ナニ 12 ヌ 5 ......[]
とすると、
なので、
ネ 
5 ノ 2 ......[]
注.最後のチツテトナニヌのところはの式のbの入り方から見て、として計算し、
として計算するとよいでしょう。
とおくと、の解がで、ここで、は極値をとります。3次方程式b以外の解をc3次方程式以外の解をdとして、dbcが等間隔に並ぶことを知っていれば、となるt なので、ほぼ計算なしで、であることがわかります。



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