共通テスト数学IIB '22年第3問 

以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて41ページの正規分布表を用いてもよい。

ジャガイモを栽培し販売している会社に勤務する花子さんは、
A地区とB地区で収穫されるジャガイモについて調べることになった。

(1) A地区で収穫されるジャガイモには1個の重さが200gを超えるものが25%含まれることが経験的にわかっている。花子さんはA地区で収穫されたジャガイモから400個を無作為に抽出し、重さを計測した。そのうち、重さが200gを超えるジャガイモの個数を表す確率変数をZとする。このときZは二項分布に従うから、Zの平均(期待値)である。

(2) Z(1)の確率変数とし、A地区で収穫されたジャガイモ400個からなる標本において、重さが200gを超えていたジャガイモの標本における比率をとする。このとき、Rの標準偏差はである。
標本の大きさ400は十分に大きいので、Rは近似的に正規分布に従う。
したがって、となるような
xの値はとなる。ただし、の計算においてはとする。

の解答群
          

については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
          


(3) B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さは100gから300gの間に分布している。B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さを表す確率変数をXとするとき、Xは連続型確率変数であり、Xのとり得る値xの範囲はである。
花子さんは、B地区で収穫され、出荷される予定のすべてのジャガイモのうち、重さが200g以上のものの割合を見積もりたいと考えた。そのために花子さんは、Xの確率密度関数として適当な関数を定め、それを用いて割合を見積もるという方針を立てた。
B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモから206個を無作為に抽出したところ、重さの標本平均は180gであった。図1はこの標本のヒストグラムである。
花子さんは図
1のヒストグラムにおいて、重さxの増加とともに度数がほぼ一定の割合で減少している傾向に着目し、Xの確率密度関数として、1次関数
 ()
を考えることにした。ただし、の範囲でとする。
このとき、であることから
 ・・・@
である。
花子さんは、
Xの平均(期待値)が重さの標本平均180gと等しくなるように確率密度を定める方法を用いることにした。
連続型確率密度変数
Xのとり得る値xの範囲がで、その確率密度関数がのとき、Xの平均(期待値)m
で定義される。この定義と花子さんの採用した方法から
 ・・・A
となる。@とAにより、確率密度関数は
 ・・・B
と得られる。このようにして得られたBのは、の範囲でを満たしており、確かに確率密度関数として適当である。
したがって、この花子さんの方針に基づくと、
B地区で収穫され、出荷される予定のすべてのジャガイモのうち、重さが200g以上のものは%あると見積もることができる。

については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
 
33   34   35   36


正規分布表
次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.00000.00400.00800.01200.01600.01990.02390.02790.03190.0359
0.10.03980.04380.04780.05170.05570.05960.06360.06750.07140.0753
0.20.07930.08320.08710.09100.09480.09870.10260.10640.11030.1141
0.30.11790.12170.12550.12930.13310.13680.14060.14430.14800.1517
0.40.15540.15910.16280.16640.17000.17360.17720.18080.18440.1879
0.50.19150.19500.19850.20190.20540.20880.21230.21570.21900.2224
0.60.22570.22910.23240.23570.23890.24220.24540.24860.25170.2549
0.70.25800.26110.26420.26730.27040.27340.27640.27940.28230.2852
0.80.28810.29100.29390.29670.29950.30230.30510.30780.31060.3133
0.90.31590.31860.32120.32380.32640.32890.33150.33400.33650.3389
1.00.34130.34380.34610.34850.35080.35310.35540.35770.35990.3621
1.10.36430.36650.36860.37080.37290.37490.37700.37900.38100.3830
1.20.38490.38690.38880.39070.39250.39440.39620.39800.39970.4015
1.30.40320.40490.40660.40820.40990.41150.41310.41470.41620.4177
1.40.41920.42070.42220.42360.42510.42650.42790.42920.43060.4319
1.50.43320.43450.43570.43700.43820.43940.44060.44180.44290.4441
1.60.44520.44630.44740.44840.44950.45050.45150.45250.45350.4545
1.70.45540.45640.45730.45820.45910.45990.46080.46160.46250.4633
1.80.46410.46490.46560.46640.46710.46780.46860.46930.46990.4706
1.90.47130.47190.47260.47320.47380.47440.47500.47560.47610.4767
2.00.47720.47780.47830.47880.47930.47980.48030.48080.48120.4817
2.10.48210.48260.48300.48340.48380.48420.48460.48500.48540.4857
2.20.48610.48640.48680.48710.48750.48780.48810.48840.48870.4890
2.30.48930.48960.48980.49010.49040.49060.49090.49110.49130.4916
2.40.49180.49200.49220.49250.49270.49290.49310.49320.49340.4936
2.50.49380.49400.49410.49430.49450.49460.49480.49490.49510.4952
2.60.49530.49550.49560.49570.49590.49600.49610.49620.49630.4964
2.70.49650.49660.49670.49680.49690.49700.49710.49720.49730.4974
2.80.49740.49750.49760.49770.49770.49780.49790.49790.49800.4981
2.90.49810.49820.49820.49830.49840.49840.49850.49850.49860.4986
3.00.49870.49870.49870.49880.49880.49890.49890.49890.49900.4990



解答 相関も出題されていますが、公式にはめるだけです。確率分布関数の直線近似も扱います。

(1) 二項分布nは反復試行の回数、p1回当たりの確率です。400個のジャガイモの各一について、200gを超える確率がなので、として二項分布を考えます。
ア 2 イ 5 ......[]
Z
の平均は、
ウエオ 
100 ......[]
(2) 200gを超えるジャガイモの標本比率の標準偏差は、標本の大きさがなので、
カ 2 ......[]
従って、標本比率は、近似的に正規分布に従います。
として、となるところを正規分布表で探すと、です。よって、
 ∴
キ 2 ......[]
206
個のジャガイモは全て質量xの範囲に入るので、です。
ク 
1 ......[]
の範囲で確率密度関数:を積分すると全確率1になるので、確率分布を直線で近似したときにできる台形の面積1になります。

 ・・・C
ケ 4 コ 2 ......[]
問題文のA式、
 ・・・A
A−C×200より、
 ∴
Cに代入して、

 ∴
これより確率密度関数は、
サ 3 シス 11 ......[]
確率密度関数のの部分が横軸との間の面積は、

よって、重さ200g以上のものは35%と見積もることができます。
セ 
2 ......[]
注.確率密度関数を求めている時間的余裕がない場合、図1のヒストグラムを読んで、セを
より答えることもできます(正解できる保証はありません)



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