　共通テスト数学IIB '22年第3問　

　共通テスト数学IIB '22年第3問　

以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて41ページの正規分布表を用いてもよい。

ジャガイモを栽培し販売している会社に勤務する花子さんは、A地区とB地区で収穫されるジャガイモについて調べることになった。

(1) A地区で収穫されるジャガイモには1個の重さが200gを超えるものが25％含まれることが経験的にわかっている。花子さんはA地区で収穫されたジャガイモから400個を無作為に抽出し、重さを計測した。そのうち、重さが200gを超えるジャガイモの個数を表す確率変数をZとする。このときZは二項分布

に従うから、Zの平均(期待値)は

である。

(2) Zを(1)の確率変数とし、A地区で収穫されたジャガイモ400個からなる標本において、重さが200gを超えていたジャガイモの標本における比率を

とする。このとき、Rの標準偏差は

である。

標本の大きさ400は十分に大きいので、Rは近似的に正規分布

に従う。
したがって、

となるようなxの値は

となる。ただし、

の計算においては

とする。

の解答群

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

(3) B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さは100gから300gの間に分布している。B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さを表す確率変数をXとするとき、Xは連続型確率変数であり、Xのとり得る値xの範囲は

である。

花子さんは、B地区で収穫され、出荷される予定のすべてのジャガイモのうち、重さが200g以上のものの割合を見積もりたいと考えた。そのために花子さんは、Xの確率密度関数

として適当な関数を定め、それを用いて割合を見積もるという方針を立てた。

B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモから206個を無作為に抽出したところ、重さの標本平均は180gであった。図1はこの標本のヒストグラムである。
花子さんは図1のヒストグラムにおいて、重さxの増加とともに度数がほぼ一定の割合で減少している傾向に着目し、Xの確率密度関数

として、1次関数

　(

)

を考えることにした。ただし、

の範囲で

とする。
このとき、

であることから

　･･･①

である。
花子さんは、Xの平均(期待値)が重さの標本平均180gと等しくなるように確率密度を定める方法を用いることにした。
連続型確率密度変数Xのとり得る値xの範囲が

で、その確率密度関数が

のとき、Xの平均(期待値)mは

で定義される。この定義と花子さんの採用した方法から

　･･･②

となる。①と②により、確率密度関数は

　･･･③

と得られる。このようにして得られた③の

は、

の範囲で

を満たしており、確かに確率密度関数として適当である。
したがって、この花子さんの方針に基づくと、B地区で収穫され、出荷される予定のすべてのジャガイモのうち、重さが200g以上のものは

％あると見積もることができる。

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

正規分布表

次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990