　大学入学共通テスト数学IIB 2023年問題　

　大学入学共通テスト数学IIB 2023年問題　

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[1][1]　三角関数の値の大小関係について考えよう。

(1)

のとき

であり、

のとき

である。

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

(2)

と

の値の大小関係を詳しく調べよう。

であるから、

が成り立つことは

「

　かつ　

」　･･･①

または

「

　かつ　

」　･･･②

が成り立つことと同値である。

のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は

であり、②が成り立つようなxの値の範囲は

である。よって、

のとき、

が成り立つようなxの値の範囲は

，

である。

(3)

と

の値の大小関係を調べよう。

三角関数の加法定理を用いると、等式

　･･･③

が得られる。

，

を満たすα，βに対して③を用いることにより、

が成り立つことは

「

　かつ　

」　･･･④

または

「

　かつ　

」　･･･⑤

が成り立つことと同値であることがわかる。

のとき、④，⑤により、

が成り立つようなxの値の範囲は

，

である。

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

(4) (2)，(3)の考察から、

のとき、

が成り立つようなxの値の範囲は

，

であることがわかる。

[2](1)

，

のとき、

とおくと、

が成り立つ。

の解答群

(2) 様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。

(i)

，

であり、どちらも有理数である。

(ii)

が有理数と無理数のどちらであるかを考えよう。

が有理数であると仮定すると、

であるので、二つの自然数p，qを用いて

と表すことができる。このとき、(1)により

は

と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、

を満たす自然数p，qは存在しない。
したがって、

は無理数だとわかる。

(iii) a，bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「

ならば

はつねに無理数である」ことがわかる。

の解答群

　aが偶数

　bが偶数

　aが奇数

　bが奇数

　aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数

　aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数

[解答へ]

[2][1](1) kを正の定数とし、次の3次関数を考える。

のグラフとx軸との共有点の座標は

と

である。

の導関数

は

である。

のとき、

は極小値

をとる。

のとき、

は極大値

をとる。
また、

の範囲において

のとき

は最大となることがわかる。

，

～

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

(2) 右の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれx，Vとする。Vをxの式で表すと

　(

)

である。(1)の考察より、

のときVは最大となることがわかる。Vの最大値は

である。

[2](1) 定積分

の値は

である。

また、関数

の不定積分は

である。ただし、Cは積分定数とする。

(2) ある地域では、毎年3月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題になる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、2月に入ってからの気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図1の6時間毎の気温の折れ線を見ながら、次のように考えることにした。

xの値の範囲を0以上の実数全体として、2月1日午前0時から

時間経った時点をx日後とする。(例えば、10.3日後は2月11日午前7時12分を表す。)また、x日後の気温をy℃とする。このとき、yはxの関数であり、これを

とおく。ただし、yは負にはならないものとする。
気温を表す関数

を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の設定で考えることにした。

－設定－－－－－－－－－－－－－
正の実数t に対して、

を0からt まで積分した値を

とする。すなわち、

とする。この

が400に到達したとき、ソメイヨシノが開花する。
－－－－－－－－－－－－－－－－

設定のもと、太郎さんは気温を表す関数

のグラフを図2のように直線とみなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。

(i) 太郎さんは、

　(

)

として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから

となる。

の解答群

　30日後　　

　35日後　　

　40日後

　45日後　　

　50日後　　

　55日後

　60日後　　

　65日後

(ii) 太郎さんと花子さんは、2月に入ってから30日後以降の気温について話をしている。

－－－－－－－－－－－－－－－－

太郎：1次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。

花子：気温の上がり方から考えて、2月に入ってから30日後以降の気温を表す関数が2次関数の場合も考えてみようか。

－－－－－－－－－－－－－－－－

花子さんは気温を表す関数

を、

のときは太郎さんと同じように

とし、

のときは

として考えた。なお、

のとき①の右辺の値と②の右辺の値は一致する。花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より

であり、

となることがわかる。
また、

の範囲において

は増加する。よって

であることがわかる。以上より、ソメイヨシノの開花日時は2月に入ってから

となる。

の解答群

　30日後より前

　30日後

　30日後より後、かつ40日後より前

　40日後

　40日後より後、かつ50日後より前

　50日後

　50日後より後、かつ60日後より前

　60日後

　60日後より後

[解答へ]

[3]　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて43ページ(注．本ウェブサイトでは問題文の末尾)の正規分布表を用いてもよい。

(1) ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ(単位はg)を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布

に従うとする。

(i) この母集団から1個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さがmg以上である確率

は

である。

(ii) 母集団から無作為に抽出された大きさnの標本

，

，･･･，

の標本平均を

とする。

の平均(期待値)と標準偏差はそれぞれ

，

となる。

，標本平均が30.0g，標本の標準偏差が3.6gのとき、mの信頼度90％の信頼区間を次の方針で求めよう。

－方針－－－－－－－－－－－－－
Zを標準正規分布

に従う確率変数として、

となる

を正規分布表から求める。この

を用いるとmの信頼度90.1％の信頼区間が求められるが、これを信頼度90％の信頼区間とみなして考える。
－－－－－－－－－－－－－－－－

方針において、

である。
一般に、標本の大きさnが大きいときには、母標準偏差の代わりに、標本の標準偏差を用いてよいことが知れられている。

は十分に大きいので、方針に基づくと、mの信頼度90％の信頼区間は

となる。

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

(2) (1)の確率変数Xにおいて、

，

とした母集団から無作為にピーマンを1個ずつ抽出し、ピーマン2個を1組にしたものを袋に入れていく。このようにしてピーマン2個を1組にしたものを25袋作る。その際、1袋ずつの重さの分散を小さくするために、次のピーマン分類法を考える。

－ピーマン分類法－－－－－－－－
無作為に抽出したいくつかのピーマンについて、重さが30.0g以下のときをSサイズ、30.0gを超えるときはLサイズと分類する。そして、分類されたピーマンからSサイズとLサイズのピーマンを一つずつ選び、ピーマン2個を1組とした袋を作る。
－－－－－－－－－－－－－－－－

(i) ピーマンを無作為に50個抽出したとき、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率

を考えよう。無作為に1個抽出したピーマンがSサイズである確率は

である。ピーマンを無作為に50個抽出したときのSサイズのピーマンの個数を表す確率変数を

とすると、

は二項分布

に従うので

となる。

を計算すると、

となることから、ピーマンを無作為に50個抽出したとき、25袋作ることができる確率は0.11程度とわかる。

(ii) ピーマン分類法で25袋作ることができる確率が0.95以上となるようなピーマンの個数を考えよう。

kを自然数とし、ピーマンを無作為に

個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数を表す確率変数を

とすると、

は二項分布

に従う。

は十分に大きいので、

は近似的に正規分布

に従い、

とすると、Yは近似的に標準正規分布

に従う。
よって、ピーマン分類法で、25袋作ることができる確率を

とすると

となる。

，

とおく。

になるような

について、正規分布表から

を満たせばよいことがわかる。ここでは

　･･･①

を満たす自然数kを考えることとする。①の両辺は正であるから、

を満たす最小のkを

とすると、

であることがわかる。ただし、

の計算においては、

を用いてもよい。
したがって、少なくとも

個のピーマンを抽出しておけば、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率は0.95以上となる。

～

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

正規分布表

次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990