　共通テスト数学IIB '23年第3問　

　共通テスト数学IIB '23年第3問　

以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて43ページ(注．本ウェブサイトでは問題文の末尾)の正規分布表を用いてもよい。

(1) ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ(単位はg)を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布

に従うとする。

(i) この母集団から1個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さがmg以上である確率

は

である。

(ii) 母集団から無作為に抽出された大きさnの標本

，

，･･･，

の標本平均を

とする。

の平均(期待値)と標準偏差はそれぞれ

，

となる。

，標本平均が30.0g，標本の標準偏差が3.6gのとき、mの信頼度90％の信頼区間を次の方針で求めよう。

－方針－－－－－－－－－－－－－
Zを標準正規分布

に従う確率変数として、

となる

を正規分布表から求める。この

を用いるとmの信頼度90.1％の信頼区間が求められるが、これを信頼度90％の信頼区間とみなして考える。
－－－－－－－－－－－－－－－－

方針において、

である。
一般に、標本の大きさnが大きいときには、母標準偏差の代わりに、標本の標準偏差を用いてよいことが知れられている。

は十分に大きいので、方針に基づくと、mの信頼度90％の信頼区間は

となる。

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

(2) (1)の確率変数Xにおいて、

，

とした母集団から無作為にピーマンを1個ずつ抽出し、ピーマン2個を1組にしたものを袋に入れていく。このようにしてピーマン2個を1組にしたものを25袋作る。その際、1袋ずつの重さの分散を小さくするために、次のピーマン分類法を考える。

－ピーマン分類法－－－－－－－－
無作為に抽出したいくつかのピーマンについて、重さが30.0g以下のときをSサイズ、30.0gを超えるときはLサイズと分類する。そして、分類されたピーマンからSサイズとLサイズのピーマンを一つずつ選び、ピーマン2個を1組とした袋を作る。
－－－－－－－－－－－－－－－－

(i) ピーマンを無作為に50個抽出したとき、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率

を考えよう。無作為に1個抽出したピーマンがSサイズである確率は

である。ピーマンを無作為に50個抽出したときのSサイズのピーマンの個数を表す確率変数を

とすると、

は二項分布

に従うので

となる。

を計算すると、

となることから、ピーマンを無作為に50個抽出したとき、25袋作ることができる確率は0.11程度とわかる。

(ii) ピーマン分類法で25袋作ることができる確率が0.95以上となるようなピーマンの個数を考えよう。

kを自然数とし、ピーマンを無作為に

個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数を表す確率変数を

とすると、

は二項分布

に従う。

は十分に大きいので、

は近似的に正規分布

に従い、

とすると、Yは近似的に標準正規分布

に従う。
よって、ピーマン分類法で、25袋作ることができる確率を

とすると

となる。

，

とおく。

になるような

について、正規分布表から

を満たせばよいことがわかる。ここでは

　･･･①

を満たす自然数kを考えることとする。①の両辺は正であるから、

を満たす最小のkを

とすると、

であることがわかる。ただし、

の計算においては、

を用いてもよい。
したがって、少なくとも

個のピーマンを抽出しておけば、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率は0.95以上となる。

～

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

正規分布表

次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990