　大学入学共通テスト数学IIB 2024年問題　

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[1][1](1)

，

とする。関数

と

のグラフについて考えよう。

(i)

のグラフは点

を通る。また、

のグラフは点

を通る。

(ii)

のグラフは、kの値によらず定点

を通る。

(iii)

のとき、

のグラフの概形は

である。

，

については、最も適当なものを、右図の

～

のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(2)

，

とする。

について考えよう。

(i) 座標平面において、方程式

の表す図形を図示すると、

の

，

の部分となる。

については、最も適当なものを、右図の

～

のうちから一つ選べ。

(ii) 座標平面において、不等式

の表す領域を図示すると、

の斜線部分となる。ただし、境界(境界線)は含まない。

については、最も適当なものを、右図の

～

のうちから一つ選べ。

[2]　

をxの2次式とする。xの整式

を

で割ったときの商を

，余りを

とする。ただし、

と

の係数は実数であるとする。

(1)

，

の場合を考える。

方程式

の解は

である。
また、

，

である。

(2) 方程式

は異なる二つの解α，βをもつとする。このとき

を

で割った余りが定数になる

ことと同値な条件を考える。

(i) 余りが定数になるときを考えてみよう。

仮定から、定数kを用いて

とおける。このとき、

。したがって、余りが定数になるとき、

が成り立つ。

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

が成り立つことから、

となることが導かれる。また、

が成り立つことから、

となることが導かれる。

かつ

が成り立つことから、

となることが導かれる。

が成り立つことから、

となることが導かれる。また、

が成り立つことから、

となることが導かれる。

かつ

が成り立つことから、

となることが導かれる。

の解答群

(ii) 逆に

が成り立つとき、余りが定数になるか調べよう。

が2次式であるから、m，nを定数として

とおける。

を

，

，m，nを用いて表すと、

となる。この等式のxにα，βをそれぞれ代入すると

となるので、

と

より

となる。以上から余りが定数になることがわかる。

の解答群

　かつ　

の解答群

　かつ　

(i)，(ii)の考察から、方程式

が異なる二つの解α，βをもつとき、

を

で割った余りが定数になることと

であることとは同値である。

(3) pを定数とし、

，

の場合を考える。

を

で割った余りが定数になるとき、

となり、その余りは

となる。

[解答へ]

[2]　mを

を満たす定数とし、

とする。また、

とする。関数

と

のグラフの関係について考えてみよう。

(1)

のとき、すなわち、

のときを考える。

(i)

となるxの値は

である。
(ii)

を計算すると、

であるから

のとき、

は極大値

をとり

のとき、

は極小値

をとることがわかる。

(iii)

と一致するものとして、次の

～

のうち、正しいものは

である。

の解答群

　2点

，

を通る直線の傾き

　2点

，

を通る直線の傾き

　関数

のグラフ上の点

における接線の傾き

　関数

のグラフ上の点

における接線の傾き

(2)

の範囲で、関数

のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積を

，

の範囲で、関数

のグラフとx軸で囲まれた図形の面積を

とする。このとき、

，

である。

となるのは

のときであるから、

が成り立つような

に対する関数

のグラフの概形は

である。また、

が成り立つような

に対する関数

のグラフの概形は

である。

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

の解答群

，

については、最も適当なものを、右図の

～

のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(3) 関数

のグラフの特徴から関数

のグラフの特徴を考えてみよう。

関数

のグラフは直線

に関して対称であるから、すべての正の実数pに対して

　･･･①

が成り立ち、

とおくと

であるすべての実数qに対して

　･･･②

が成り立つことがわかる。すべての実数α，βに対して

が成り立つことに注意すれば、①と②はそれぞれ

となる。
以上から、すべての正の実数pに対して、2点

，

を結ぶ線分の中点についての記述として、後の

～

のうち、最も適当なものは

である。

の解答群

　x座標はpの値によらず一つに定まり、y座標はpの値により変わる。

　x座標はpの値により変わり、y座標はpの値によらず一つに定まる。

　中点はpの値によらず一つに定まり、関数

のグラフ上にある。

　中点はpの値によらず一つに定まり、関数

のグラフ上にある。

　中点はpの値によって動くが、つねに関数

のグラフ上にある。

　中点はpの値によって動くが、つねに関数

のグラフ上にある。

[解答へ]

[3]　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて問題末の正規分布表を用いてもよい。また、ここでの晴れの定義については、気象庁の天気概況の「快晴」または「晴れ」とする。

(1) 太郎さんは、自分が住んでいる地域において、日曜日に晴れとなる確率を考えている。

晴れの場合は1，晴れ以外の場合は0の値をとる確率変数をXと定義する。また、

である確率をpとすると、その確率分布は表1のようになる。

　　　表　1

X	0	1	計
確率		p	1

この確率変数Xの平均(期待値)をmとすると

となる。
太郎さんは、ある期間における連続したn週の日曜日の天気を、表1の確率分布をもつ母集団から無作為に抽出した大きさnの標本とみなし、それらのXを確率変数

，

，･･･，

で表すことにした。そして、その標本平均

を利用して、母平均mを推定しようと考えた。実際に

として晴れの日数を調べたところ、表2のようになった。

　　表　2

天　気	日　数
晴れ	75
晴れ以外	225
計	300

母標準偏差をσとすると、

は十分に大きいので、標本平均

は近似的に正規分布

に従う。
一般に、母標準偏差σがわからないとき、標本の大きさnが大きければ、σの代わりに標本の標準偏差Sを用いてもよいことが知られている。Sは

で計算できる。ここで、

，

，･･･，

であることに着目し、右辺を整理すると、

と表されることがわかる。
よって、表2より、大きさ

の標本から求められる母平均mに対する信頼度95%の信頼区間は

となる。

の解答群

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

(2) ある期間において、「ちょうど3週続けて日曜日の天気が晴れになること」がどのくらいの頻度で起こり得るのかを考察しよう。以下では、以下では、連続するk週の日曜日の天気について、(1)の太郎さんが考えた確率変数のうち、

，

，･･･，

を用いて調べる。ただし、kは3以上300以下の自然数とする。

，

，･･･，

の値を順に並べたときの0と1からなる列において、「ちょうど三つ続けて1が現れる部分」をAとし、Aの個数を確率変数

で表す。例えば、

とし、

，

，･･･，

の値を順に並べたとき

であったとする。この例では、下線部分はAを示しており、1が四つ以上続く部分はAとは見なさないので、

となる。

のとき、

，

のとり得る値と、それに対応した

の値を書き出すと、表3のようになる。

　　表　3


0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	0	1	0	0
0	0	0	1	0
1	1	0	0	0
1	0	1	0	0
1	0	0	1	0
0	1	1	0	0
0	1	0	1	0
0	0	1	1	0
1	1	1	0	1
1	1	0	1	0
1	0	1	1	0
0	1	1	1	1
1	1	1	1	0

ここで、

の期待値を求めてみよう。(1)におけるpの値を

とする。

のとき、

の期待値は

となる。

のとき、

の期待値は

となる。
4以上のkについて、kと

の関係を詳しく調べると、座標平面上の点

，

，･･･，

は一つの直線上にあることがわかる。この事実によって

となる。

正規分布表

次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990