共通テスト数学IIB '24年第2問
mを
を満たす定数とし、
とする。また、
とする。関数
と
のグラフの関係について考えてみよう。
(1) 
のとき、すなわち、
のときを考える。 (i) 
となるxの値は
である。(ii) 
を計算すると、 であるから
のとき、
は極大値
をとり
のとき、
は極小値
をとることがわかる。 (iii) 
と一致するものとして、次の
～
のうち、正しいものは
である。 
の解答群
(2) 
の範囲で、関数
のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積を
，
の範囲で、関数
のグラフとx軸で囲まれた図形の面積を
とする。このとき、
，
である。 
となるのは
のときであるから、
が成り立つような
に対する関数
のグラフの概形は
である。また、
が成り立つような
に対する関数
のグラフの概形は
である。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
の解答群
，
については、最も適当なものを、右図の～
のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(3) 関数
のグラフの特徴から関数
のグラフの特徴を考えてみよう。 関数
のグラフは直線
に関して対称であるから、すべての正の実数pに対して 
･･･①が成り立ち、
とおくと
であるすべての実数qに対して 
･･･②が成り立つことがわかる。すべての実数α，βに対して
が成り立つことに注意すれば、①と②はそれぞれ
となる。
以上から、すべての正の実数pに対して、2点
，
を結ぶ線分の中点についての記述として、後の～のうち、最も適当なものは
である。
の解答群 
の解答群
の解答群
の解答群
の解答群
の解答群 x座標はpの値によらず一つに定まり、y座標はpの値により変わる。 
x座標はpの値により変わり、y座標はpの値によらず一つに定まる。
中点はpの値によらず一つに定まり、関数
のグラフ上にある。
中点はpの値によらず一つに定まり、関数
のグラフ上にある。 中点はpの値によって動くが、つねに関数
のグラフ上にある。 中点はpの値によって動くが、つねに関数
のグラフ上にある。
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解答 難問ではないのですが、こうした抽象関数の問題を毛嫌いする受験生もいるので、当てずっぽうで答えた人も多かったのでは？ですが、論理的に追わなくても、グラフを描いて考えれば、解答可能です。
(1) 
のとき、③は、
(i) 微分すると、
，
とすると、
ア 3 イ 2 ......[答] (ii) ④は(不定積分を参照)、
ウ 9 エ 6 ......[答] 
(定積分を参照) オ 9 カ 2 キ 6 ......[答]
(定積分と微分を参照)
，
増減表は以下。
増減表より、
のとき、
は極大値
をとり、
のとき、
は極小値2をとります。 ク 1 ケ 5 コ 2 サ 2 シ 2 ......[答](iii) 
は、
における
の接線の傾きです。 ス 3 ......[答]
(2) ③，④より、
，
より、
は
で極大値
をとり、
で極小値
をとります。
のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積
は、 
セ 0 ......[答]
の範囲で、
のグラフとx軸で囲まれた図形の面積
は、この範囲で
なので、
ソ 5 ......[答]④より、
です。また、 即ち、
，
･･･⑤
となるのは、⑤より、
，よって、
タ 1 ......[答]極小値
が0になっている
のグラフはです。 チ 1 ......[答]
となるのは、⑤より、
，よって、
，極小値
が正である
のグラフはです。 ツ 2 ......[答]
(3) 2次関数
のグラフは放物線で軸に関して対称です。①より
の解が
，
であることから、軸の位置は
です。 テ 3 ......[答] 
とおくと、
のグラフは、軸：
に関して対称なので、すべての正の実数pに対して、
であって、
と
であることから、
･･･① ト 4 ......[答]また、
であるすべての実数qに対して、 
･･･② ナ 2 ......[答]①より、
∴ 
･･･⑥ ニ 0 ......[答]②より、
∴ 
･･･⑦ ヌ 4 ......[答]
2点
，
の中点は、x座標は
，y座標は、⑥より、 ②において
と見れば、⑦より、 であって、中点
が
上の点であることが分かります。 ネ 2 ......[答] 注．数学Ⅲの範囲になりますが、この中点は、3次関数のグラフの変曲点です。3次関数のグラフは変曲点に関して対称です。
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，
を通る直線の傾き
，
を通る直線の傾き
のグラフ上の点
における接線の傾き
のグラフ上の点
における接線の傾き
(
) ･･･③
･･･④
(∵ 
，
)
