共通テスト数学IIB '24年第2問 

mを満たす定数とし、とする。また、とする。関数のグラフの関係について考えてみよう。

(1) のとき、すなわち、のときを考える。
(i) となるxの値はである。
(ii) を計算すると、

であるから
のとき、は極大値をとり
のとき、は極小値をとることがわかる。
(iii) と一致するものとして、次ののうち、正しいものはである。

の解答群
 
 2を通る直線の傾き
 2を通る直線の傾き
 関数のグラフ上の点における接線の傾き
 関数のグラフ上の点における接線の傾き

(2) の範囲で、関数のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積をの範囲で、関数のグラフとx軸で囲まれた図形の面積をとする。このとき、である。
となるのはのときであるから、が成り立つようなに対する関数のグラフの概形はである。また、が成り立つようなに対する関数のグラフの概形はである。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
       
       

の解答群
    
    
    
 

については、最も適当なものを、右図ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(3) 関数のグラフの特徴から関数のグラフの特徴を考えてみよう。
関数のグラフは直線に関して対称であるから、すべての正の実数pに対して
 ・・・@
が成り立ち、とおくとであるすべての実数qに対して
 ・・・A
が成り立つことがわかる。すべての実数αβに対して
が成り立つことに注意すれば、@とAはそれぞれ

となる。
以上から、すべての正の実数
pに対して、2を結ぶ線分の中点についての記述として、後ののうち、最も適当なものはである。

の解答群
 m         

の解答群
    p   
    

の解答群
    M   
       

の解答群
       
       

の解答群
    
    
    

の解答群
 x座標はpの値によらず一つに定まり、y座標はpの値により変わる。
 x座標はpの値により変わり、y座標はpの値によらず一つに定まる。
 中点はpの値によらず一つに定まり、関数のグラフ上にある。
 中点はpの値によらず一つに定まり、関数のグラフ上にある。
 中点はpの値によって動くが、つねに関数のグラフ上にある。
 中点はpの値によって動くが、つねに関数のグラフ上にある。


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解答 難問ではないのですが、こうした抽象関数の問題を毛嫌いする受験生もいるので、当てずっぽうで答えた人も多かったのでは?ですが、論理的に追わなくても、グラフを描いて考えれば、解答可能です。

() ・・・B
 ・・・C

(1) のとき、Bは、
(i) 微分すると、とすると、 ア 3 イ 2 ......[]
(ii) Cは(不定積分を参照) ウ 9 エ 6 ......[]
 (定積分を参照) オ 9 カ 2 キ 6 ......[]
 (定積分と微分を参照)

増減表は以下。
 x  1 2 

00
2

増減表より、のとき、は極大値をとり、
のとき、は極小値
2をとります。 ク 1 ケ 5 コ 2 サ 2 シ 2 ......[]
(iii) は、における接線の傾きです。 ス 3 ......[]

(2) B,Cより、より、で極大値をとり、で極小値をとります。のグラフとx軸およびy軸で囲まれた図形の面積は、
 セ 0 ......[]
の範囲で、のグラフとx軸で囲まれた図形の面積は、この範囲でなので、
 ソ 5 ......[]
Cより、です。また、
即ち、 ・・・D
となるのは、Dより、,よって、 タ
1 ......[]
極小値0になっているのグラフはです。 チ 1 ......[]
となるのは、Dより、,よって、,極小値が正であるのグラフはです。 ツ 2 ......[]

(3) 2次関数のグラフは放物線で軸に関して対称です。@よりの解がであることから、軸の位置はです。 テ 3 ......[]
とおくと、のグラフは、軸:に関して対称なので、すべての正の実数pに対して、であって、であることから、
 ・・・@ ト 4 ......[]
また、であるすべての実数qに対して、
 ・・・A ナ 2 ......[]
@より、
 ・・・E  0 ......[]
Aより、
∴  ・・・F ヌ
4 ......[]
2
の中点は、x座標はy座標は、Eより、
 ( )
Aにおいてと見れば、Fより、
であって、中点上の点であることが分かります。 ネ 2 ......[]
注.数学Vの範囲になりますが、この中点は、3次関数のグラフの変曲点です。3次関数のグラフは変曲点に関して対称です。


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