共通テスト数学IIBC '26年第3問
(1) kを実数とし、3次関数
を考える。 (i) 
である。 
のとき、
は極大値
をとる。
のとき、
は極小値
をとる。
の解答群
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(ii) 
のグラフを概形は である。
，
については、最も適当なものを、右の
〜
のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(iii) (i)で求めた
，
のうち、小さい方の数をaとする。
を満たすようなkの値の範囲は
である。 kは
を満たすとする。
の範囲において、
を満たすxの値をβとおく。
の範囲における
のグラフとx軸およびy軸で囲まれた部分の面積と、
の範囲における
のグラフとx軸および直線
で囲まれ部分の面積が等しいとする。
このとき、
が成り立つ。したがって、
である。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 
の解答群
(2) 3次関数
に対して、与えられた条件のもので
のグラフの概形を考えよう。
・次の条件(a)を考える。
条件(a) 
かつ
である。 後の〜
のうち、条件(a)を満たす関数
のグラフの概形は
，
，
の三つであり、残りの五つは条件(a)を満たさない。ただし、
，
，
の解答の順序は問わない。
・条件(a)に加えて、次の条件(b)を考える。
条件(b) 
のグラフは直線
を軸とする放物線である。 後の〜のうち、条件(a)，(b)をともに満たす関数
のグラフの概形は
，
の二つであり、残りの六つは条件(a)，(b)の少なくとも一方を満たさない。ただし、
，
の解答の順序は問わない。
・条件(a)，(b)に加えて、次の条件(c)を考える。
条件(c) 
のグラフは下に凸の放物線である。 後の〜のうち、条件(a)，(b)，(c)のすべてを満たす関数
のグラフの概形は
の一つだけである。 
〜
については、最も適当なものを、右の〜のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
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解答 煩雑な計算をしなくてよいように工夫されていて、数学の真の実力が現れる問題です。
(1) 
(i) 
を微分すると、
ア 2 ......[答] 
とすると、
，
より、増減表は、
増減表より、
は
のとき、極大値
をとり、
のとき、極小値kをとります。 イ 1 ウ 9 エ3 オ5 .......[答](ii) 増減表のようになっているグラフ(極大が極小の左にある)の中から選びます。
のとき、極小値は0になるので、
のグラフは
においてx軸と接します。 カ 2 ......[答]
のとき、極小値は正です。 キ 0 ......[答]
ク 8 ケ 0 ......[答]
より、
のグラフは
においてx軸と交わります。このx座標がβです。
において
，
において
であることに注意します。
の範囲における
のグラフとx軸およびy軸で囲まれる部分の面積は、
です。
の範囲における
のグラフとx軸および直線
で囲まれる部分の面積は、
です。両者が等しいので、 ∴ 
(定積分を参照)つまり、
です。 コ 1 ......[答]
なので、 ∴ 
サシス 
セソ 12 ......[答]
(2) 条件(a)は、グラフが原点を通り、かつ、原点においてグラフが右上がりになっていることを言っています。そうなっているグラフは、
，
，
です。 タチツ 1, 2, 4 ......[答] 条件(b)は、条件(a)に加えて、
として、
における
の接線の傾きと
における
の接線の傾きが等しいことを言っています。そうなっているグラフは、，です。 テト 1, 4 ......[答]条件(c)は、条件(a)，(b)に加えて、
においては、
のグラフの接線の傾きが、xが大きくなるのに従って次第に小さくなり、
においては、xが大きくなるのに従って次第に大きくなることを言っています。そうなっているグラフは、です。 ナ 4 ......[答]
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出題大学に属します。なお、解答は、
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のとき
のとき
です。
，
より、
∴ 
