名古屋市大医数学'08年[2]
四面体OABCにおいて、
，
，
とする。
，
，
，
のとき、次の問いに答えよ。
(1) 辺BCをt：
の比に分ける点をQ，AQをs：
の比に分ける点をPとする。
を
，
，
とs，tで表せ。 (2) 
が平面ABCと垂直になるとき、s，tの値を求めよ。 (3) 四面体OABCの体積を求めよ。
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解答 四面体の体積を求める標準的な問題です。ですが、この問題の誘導のまま計算するのでは、
，
との内積や、
，
の計算をするときに、
，
に関する内積が出てきて、展開したときの項数が増えて面倒です。そこで、
，
，
，
の3個のベクトルの組で考えることにします。
∴ 
∴ 
･･･①
......[答]
･･･②
よって、
，②より、 ∴ 
･･･④
④－③より、
∴ 
，
......[答]このとき②より、
......[答]
追記．以上の解答より、四面体OABCの体積Vを、三角形ABCを底面，頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線をOHとして、
によって求める場合には、Aを始点として三角形ABCを作る
，
，および、始点に向かうベクトル
の3個のベクトルを基本ベクトルとして考えればよい、ということになります。
四面体の体積の問題は本問のように、各辺の長さと各辺のベクトル同士の内積を与える問題のほかに、頂点の座標を与えるタイプの問題があります。例えば、
大阪教育大'07年[4]：
座標空間において、3点A
，B
，C
の定める平面をαとし、原点Oから平面αに垂線OHを下ろす。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。
(2) 
をみたすs，tを求めよ。 (3) 点Hの座標を求めよ。
(4) 四面体OABCの体積を求めよ。
解答 以下の各計算については、空間ベクトルを参照してください。
(1) 
三角形ABCの面積Sは、
......[答]
(2) 
･･･①
･･･②①×3－②×2より、
∴ 
......[答]②より、
......[答]
(3) 
......[答]
(4) 
四面体OABCの体積Vは、
......[答]
実は、高校の範囲外ですが、外積という道具を使うと、もっと簡単に答えることができます。
と
の外積
は、
(この計算法、外積の性質については、外積を参照)
は
と
で作る平行四辺形の面積になる)、
と
の外積
は、三角形ABCに垂直なので、
として、
より、
∴ 
，
(3)のHの座標は、
(4)の四面体OABCの体積Vは、
となります。
なお、四面体の体積を参照してください。
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より、
を
，
，
を使って表すと、
が平面ABCと垂直になるとき、
，
･･･③
，
より、
，
，よって、
