新潟大理系数学'08年[2]
Aは
，
かつ
をみたす2次正方行列とする。ただし、
，
である。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 実数tに対して、積
および
を求めよ。 (2) 行列Aおよび
はともに逆行列をもたないことを示せ。 (3) 
が逆行列をもつためのtに対する必要十分条件を求めよ。また、tがその必要十分条件をみたすとき、逆行列
を求めよ。
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解答 行列の成分をもちだして
などとしては大変なことになってしまいます。Aのまま考えていくことが大切です。
(1) 
より、 
......[答]
......[答]
(2) 行列Aに対し、
をみたすBが存在すればBがAの逆行列です。 
･･･①をみたす行列Bが存在すると仮定します。
①両辺に左からAをかけると、
･･･②
と①より、よって②より、
となり、
に反します。よって、①をみたすBは存在せず、Aに逆行列は存在しません。 
･･･③をみたす行列Cが存在すると仮定します。
③両辺に左からAをかけると、
･･･④
より、④の左辺は零行列ですが、すると
となり、
に反します。よって、③をみたすCは存在せず、
に逆行列は存在しません。
(3) 
または 
のときは、(2)より、
は逆行列をもちません。 より、
は逆行列
をもちます。
よって、
が逆行列をもつための必要十分条件は、 “
かつ 
” ......[答] 
かつ 
のとき、
......[答]
追記．来年度の入試を見据えて、この問題をもう少し一般的に考えてみます。
xの多項式
を多項式
で割る計算は、数の割り算と同様にして実行できます(多項式の除算を参照)。
しかし、行列の多項式
を多項式
で割ることはできません。行列には除算がないからです。そこで
で割る代わりに
(存在すればですが)をかけることを考えます。
そのためには、行列の多項式
が与えられたときに、どうやって逆行列を求めるかが問題になります。
Aが2次の正方行列
である場合(
ではない，つまり、
の形ではないとします)には、ハミルトン・ケーリーの定理：
･･･①
であって、
であるものが必ず存在します。
を
で割ることができないので、代わりに、
を
で割って商が
，余りが
になるとします。
です。ここに、
は2次式なので、余り
は1次式であり、p，qを実数として、
と書くことができます。行列は、かけ算ならできるので、xをAに入れ替えた式：
が成立します。
なので、
なり、
が次数の大きな多項式であっても、Aの1次式で表すことができます(これが、「次数下げ」と呼ばれる技巧です)。すると、
を求めるということは、
(
) ･･･②
のときは、
であって
は存在せず、
，
のときは、
であって
です。
②で、
，
としたものが本問です。
①を利用して、
，つまり、
と書けていたとします。②で
とおいて、本問(1)と同様にして、
これがEの定数倍の形になるとよいのですが、そのためには、
より、
，つまり、
が必要です。このとき、
tの2次方程式(行列Aの固有方程式)：
･･･③
であれば、t がどんな実数であっても
が存在しますが、
の場合には、t が③の解以外の値をとるときに
が存在します。
が存在するときには、
･･･④
例えば、
，
，
･･･⑤ が成り立つときに、
･･･⑥
と⑤より、
④で、
，
，
(
，
)として、
⑥の両辺に、
(∵ 
)
となります。
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かつ 
のときは、(1)の結果を
で割って、
